Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей
из трёхзначных натуральных чисел, равен 304. Известно, что в этой
прогрессии не меньше трёх членов.
а) Может ли число 380 являться членом такой геометрической прогрессии?
б) Может ли число 760 являться членом такой геометрической прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой геометрической
прогрессии?
Решение
Пусть b1 -- первый член прогрессии, q -- знаменатель прогрессии.
а) Да, если b1=304,q=45, то
b2=304⋅45=380,b3=380⋅45=475. б) По формуле n-го члена геометрической прогрессии bn=b1⋅qn−1 получаем:
qn−1=b1bn=304760=25. Тогда
b2=304⋅25=760,b3=760⋅25=1900, значит, вторым членом не может быть 760.
Если n=2, то qn−1∈/Q, получаем противоречие.
в) Разложим 304 на простые множители: 304=19⋅24.
Значит, последний член имеет вид 19⋅2m⋅qn−1, где n⩾3 и m⩾0.
Переберём трехзначные числа, кратные 19:
1)
988=19⋅22,qn−1=304988=413. Не подходит, так как n⩾3. 2)
969=19⋅17⋅3. Не подходит.
3)
950=19⋅52⋅2,qn−1=304950=2352. Не подходит, так как n⩾3. 4)
931=19⋅72,qn−1=304931=(47)2.
