Задача 1МГУ

Найдите в явном виде целое число, задающееся выражением

\dfrac{(486+375)^2-(486-375)^2}{750}

.

Задача 2МГУ

Дана геометрическая прогрессия. Сумма первых её десяти членов равна 10. Сумма первых её тридцати членов равна 70 . Найдите сумму первых её пятидесяти членов.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

10+\log _{\frac{1}{2}} x \cdot \log _{\frac{1}{5}} x \geqslant \log _5 x^5+\log _2 x^2

.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\dfrac{2 \cos 2 x}{\sin 2 x+2 \sin ^2 x}=\tg x-1

.

Решение

Найдём ОДЗ:

\begin{cases} \cos x + \sin x \neq 0, \\ \sin x \neq 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases} \quad \begin{cases} \tg x \neq -1, \\ \sin x \neq 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases} \quad \begin{cases} x \neq -\dfrac{\pi}{4}+ \pi k, ~ k \in \mathbb{Z}, \\ x \neq \dfrac{\pi n }{2}, ~n \in \mathbb{Z}. \end{cases}

Приведём к общему знаменателю правую часть уравнения и применим формулы двойного аргумента для синуса и косинуса:

\dfrac{2(\cos^2x-\sin^2x)}{2\sin x \cos x + 2\sin^2 x} = \dfrac{\sin x -\cos x}{\cos x};

\dfrac{2(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)}{2\sin x (\cos x + \sin x)} = \dfrac{\sin x - \cos x}{\cos x};

\dfrac{\cos x -\sin x}{\sin x} = \dfrac{\sin x - \cos x}{\cos x}.

Получаем, что полученное уравнение равносильно следующей совокупности:

\left[ \begin{gathered} \cos x - \sin x =0, \\ \dfrac{1}{\sin x} = - \dfrac{1}{\cos x}. \end{gathered} \right. \quad \left[ \begin{gathered} \tg x =1, \\ \tg x = -1~-~не~удовлетворяет~ОДЗ. \end{gathered} \right.

Таким образом:

x = \dfrac{\pi}{4} + \pi l, ~l \in \mathbb{Z}.

Задача 5МГУ

Окружности

\Omega_1

и

\Omega_2

пересекаются в точках

A

и

B

. Их общая касательная, ближайшая к точке

A

, касается

\Omega_1

и

\Omega_2

в точках

C

и

D

соответственно. Касательная к окружности

\Omega_1

в точке

A

пересекает

\Omega_2

в точке

E

(отличной от

A

), а продолжение

C A

пересекает отрезок

E D

в точке

F

. Найдите

B F

, если известно, что

A B=8

и что

B C: B D=4: 3

.

Задача 6МГУ

Даны числа

a_k=\dfrac{k}{2025}, k=1,2,3, \ldots, 2024

. Найдите сумму

\frac{a_1^2}{2 a_1-1}+\frac{a_2^2}{2 a_2-1}+\frac{a_3^2}{2 a_3-1}+\ldots+\frac{a_{2024}^2}{2 a_{2024}-1}

Решение

Рассмотрим сумму:

\dfrac{a_k^2}{2a_k^{}-1}+\dfrac{a_{2025-k}^2}{2a_{2025-k}^{}-1}.

Приводим к общему знаменателю:

\tag{*} \dfrac{2a_k^2a_{2025-k}^{}+2a_k^{}a_{2025-k}^{2} - a_{2025-k}^{2}- a_{k}^{2} }{4a_k^{}a_{2025-k}^{}-2a_k^{} - 2a_{2025-k}^{} +1} = \dfrac{2a_k^{}a_{2025-k}^{}(a_k^{} + a_{2025-k}^{}) - (a_{2025-k}^{2}+ a_{k}^{2})}{4a_k^{}a_{2025-k}^{}-2(a_k^{} + a_{2025-k}^{}) +1}.

Заметим, что:

a_k+a_{2025-k} =\dfrac{k}{2025}+ \dfrac{2025-k}{2025}=1.

Также, если возвести обе части равенства в квадрат:

(a_k+a_{2025-k})^2 = 1;

a_k^2+2a_k^{}a_{2025-k}^{} +a_{2025-k}^2=1;

a_k^2+a_{2025-k}^2=1 -2a_k^{}a_{2025-k}^{}.

Теперь подставим полученные выражения в :

\dfrac{2a_k^{}a_{2025-k}^{} \cdot 1 - (1 -2a_k^{}a_{2025-k}^{})}{4a_k^{}a_{2025-k}^{}-2 \cdot 1 +1}= \dfrac{4a_k^{}a_{2025-k}^{}-1}{4a_k^{}a_{2025-k}^{}-1}=1.

Таким образом, исходная сумма разбивается на 1012 пар, сумма которых равна 1, то есть искомая сумма равна

1012 \cdot 1 = 1012

.

Задача 7МГУ

Дан куб с основаниями

A B C D, A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}

и боковыми рёбрами

A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}, D D^{\prime}

. Длина ребра этого куба равна 1. На диагонали куба

B D^{\prime}

отмечена точка

E

так, что

D^{\prime} E=3 \cdot B E

. Отмечены также середина

F

ребра

A B

и середина

G

отрезка

A^{\prime} F

. Найдите объём тетраэдра

B C^{\prime} E G

.

Решение

Найдём объём пирамиды

BB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}

:

V_{BB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} = \dfrac{1}{3}\cdot S_{B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} \cdot BB^\prime = \dfrac{1}{6}.

Рассмотрим отношение объёмов пирамид

BB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}

и

BC^{\prime}EG

:

\dfrac{V_{BB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}}{V_{BC^{\prime}EG}} = \dfrac{\frac{1}{3}S_{BC^\prime D^\prime} \cdot \rho(B^\prime; BC^\prime D^\prime)}{\frac{1}{3}S_{BC^\prime E} \cdot \rho(G; BC^\prime E)}.

Треугольники

BC^\prime E

и

BC^\prime D ^\prime

имеют общую высоту из точки

C^\prime

, значит, их площади относятся как основания, к которым проведена общая высота:

\dfrac{S_{BC^\prime D^\prime}}{S_{BC^\prime E}} = \dfrac{BD^\prime}{BE} = \dfrac{4}{1}.

Проведём прямую

GG' \parallel C'D'

, которая пересекает ребро

BB'

в точке

G'

(

BG'=B'G'

). Так как

GG' \parallel C'D'

, то

GG' \parallel BC'D'

, значит:

\rho(G; BC^\prime E) = \rho(G'; BC^\prime E).

При этом точка

G'

делит ребро

BB'

В отношении

2:1

, следовательно:

\rho(G; BC^\prime E) = \rho(G'; BC^\prime E) = \dfrac{1}{2}\rho(B'; BC^\prime E).

Таким образом:

\dfrac{V_{BB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}}{V_{BC^{\prime}EG}} = \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{2}{1}=8;

BC^{\prime}EG = \dfrac{1}{8}V_{BB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}} = \dfrac{1}{48}.