Найдите в явном виде целое число, задающееся выражением 750(486+375)2−(486−375)2.
Ответ:972
Решение
Используем формулу разности квадратов в числителе: 750(486+375−(486−375))(486+375+(486−375))=7502⋅375⋅2⋅486=972.
Задача 2МГУ
Дана геометрическая прогрессия. Сумма первых её десяти членов равна 10. Сумма первых её тридцати членов равна 70 . Найдите сумму первых её пятидесяти членов.
Ответ:310
Решение
Пусть b1 --- первый член геометрической прогрессии, а q --- знаменатель этой прогрессии. По условию, сумма первых её десяти членов равна 10, то есть: S10=b1⋅q−1q10−1=10. Сумма первых её тридцати членов равна 70: S30=b1⋅q−1q30−1=70. Разделим уравнение науравнение , получим: q10−1q30−1=7;q10−1(q10−1)(q20+q10+1)=7;q20+q10+1=7;q20+q10−6=0. Решая квадратное уравнение относительно q10, получаем корни: [q10=−3,q10=2. Уравнение q10=−3 не имеет решений, поэтому подходит только q10=2. Подставим найденное значение в уравнение : \dfrac{b_1}{q-1}=10. Такимобразом, S_{50} = b_1\dfrac{q^{50}-1}{q-1} = 10 \cdot (2^5-1)= 310. $$
Область допустимых значений (ОДЗ): x>0. По свойствам логарифмов получим: 10+log2x⋅log5x⩾5log5x+2log2x;(log2x⋅log5x−5log5x)+(10−2log2x)⩾0;log5x(log2x−5)−2(log2x−5)⩾0;(log2x−5)(log5x−2)⩾0;(log2x−log232)(log5x−log525)⩾0. По методу рационализации неравенство равносильно следующей системе: {(x−32)(x−25)⩾0,x>0, Решая первое неравенство методом интервалов, получаем: x∈(0;25]∪[32;+∞).
Задача 4МГУ
Решите уравнение sin2x+2sin2x2cos2x=tgx−1.
Ответ:4π+πl,l∈Z
Решение
Найдём ОДЗ: ⎩⎨⎧cosx+sinx=0,sinx=0,cosx=0.⎩⎨⎧tgx=−1,sinx=0,cosx=0.⎩⎨⎧x=−4π+πk,k∈Z,x=2πn,n∈Z. Приведём к общему знаменателю правую часть уравнения и применим формулы двойного аргумента для синуса и косинуса: 2sinxcosx+2sin2x2(cos2x−sin2x)=cosxsinx−cosx;2sinx(cosx+sinx)2(cosx+sinx)(cosx−sinx)=cosxsinx−cosx;sinxcosx−sinx=cosxsinx−cosx. Получаем, что полученное уравнение равносильно следующей совокупности: cosx−sinx=0,sinx1=−cosx1.[tgx=1,tgx=−1−неудовлетворяетОДЗ. Таким образом: x=4π+πl,l∈Z.
Задача 5МГУ
Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Их общая касательная, ближайшая к точке A, касается Ω1 и Ω2 в точках C и D соответственно. Касательная к окружности Ω1 в точке A пересекает Ω2 в точке E (отличной от A), а продолжение CA пересекает отрезок ED в точке F. Найдите BF, если известно, что AB=8 и что BC:BD=4:3.
Ответ:6
Решение
∠BAE --- угол между хордой AB и касательной AE равен вписанному углу ACB. Кроме того, ∠BAE=∠BDE --- как вписанные углы, опирающиеся на дугу BE.∠ACD --- угол между хордой AC и касательной CD равен вписанному углу ABC. Заметим, что ∠BAF --- внешний угол △ABC:∠BAF=∠ACB+∠ABC. Следовательно, ∠EAF=∠BAF−∠BAE=∠ACD. Так как ∠BCFи∠BDF равны и опираются на BF, значит, вокруг BCDF можно описать окружность. Тогда ∠BDC=∠BFC --- как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. Таким образом, △CBD∼ABF (по двум углам): ∠BCD=∠BAF и ∠BDC=∠BFA, значит: BDBC=BFBA;34=BF8;BF=6.
Задача 6МГУ
Даны числа ak=2025k,k=1,2,3,…,2024. Найдите сумму 2a1−1a12+2a2−1a22+2a3−1a32+…+2a2024−1a20242
Ответ:1012
Решение
Рассмотрим сумму: 2ak−1ak2+2a2025−k−1a2025−k2. Приводим к общему знаменателю: 4aka2025−k−2ak−2a2025−k+12ak2a2025−k+2aka2025−k2−a2025−k2−ak2=4aka2025−k−2(ak+a2025−k)+12aka2025−k(ak+a2025−k)−(a2025−k2+ak2).(*) Заметим, что: ak+a2025−k=2025k+20252025−k=1. Также, если возвести обе части равенства в квадрат: (ak+a2025−k)2=1;ak2+2aka2025−k+a2025−k2=1;ak2+a2025−k2=1−2aka2025−k. Теперь подставим полученные выражения в : 4aka2025−k−2⋅1+12aka2025−k⋅1−(1−2aka2025−k)=4aka2025−k−14aka2025−k−1=1. Таким образом, исходная сумма разбивается на 1012 пар, сумма которых равна 1, то есть искомая сумма равна 1012⋅1=1012.
Задача 7МГУ
Дан куб с основаниями ABCD,A′B′C′D′ и боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′. Длина ребра этого куба равна 1. На диагонали куба BD′ отмечена точка E так, что D′E=3⋅BE. Отмечены также середина F ребра AB и середина G отрезка A′F. Найдите объём тетраэдра BC′EG.
Ответ:481
Решение
Найдём объём пирамиды BB′C′D′:VBB′C′D′=31⋅SB′C′D′⋅BB′=61. Рассмотрим отношение объёмов пирамид BB′C′D′ и BC′EG:VBC′EGVBB′C′D′=31SBC′E⋅ρ(G;BC′E)31SBC′D′⋅ρ(B′;BC′D′). Треугольники BC′E и BC′D′ имеют общую высоту из точки C′, значит, их площади относятся как основания, к которым проведена общая высота: SBC′ESBC′D′=BEBD′=14. Проведём прямую GG′∥C′D′, которая пересекает ребро BB′ в точке G′ (BG′=B′G′). Так как GG′∥C′D′, то GG′∥BC′D′, значит: ρ(G;BC′E)=ρ(G′;BC′E). При этом точка G′ делит ребро BB′ В отношении 2:1, следовательно: ρ(G;BC′E)=ρ(G′;BC′E)=21ρ(B′;BC′E). Таким образом: VBC′EGVBB′C′D′=14⋅12=8;BC′EG=81VBB′C′D′=481.
Таким образом, 
Таким образом: