Какое из следующих двух чисел больше: 720+313 или 6?
Ответ:Первое
Решение
Вычтем из обоих чисел 313:720∨35. Возведём оба числа в квадрат: 720∨925;∣⋅9⋅7180∨175. Число 180>175, поэтому везде заменим знак <<∨>> на <<>>>.
Задача 2МГУ
Положительные действительные числа a и b удовлетворяют равенствам a3=a+1иb6=b+3a Определите, какое из чисел a и b больше другого.
Ответ:Число a больше числа b
Решение
Рассмотрим f(a)=a3−a−1, найдём производную: f′(a)=3a2−1. Находим нули производной: 3a2−1=0;a2=31;a=±31. Отметим промежутки убывания и возрастания функции f(a): Также заметим, что f(0)<0 и f(1)<0, следовательно, корень уравнения a3−a−1=0 удовлетворяет условию a>1. Рассмотрим g(b)=b6−b−3a, найдём производную: g′(b)=6b5−1. Найдём нули производной: 6b5−1=0;b5=61;b=561. Отметим промежутки убывания и возрастания функции g(b): Аналогично, g(0)<0иg(1)<0, следовательно, следовательно, корень уравнения b6−b−3a=0 удовлетворяет условию b>1. Левая и правая части равенства a3=a+1 положительны, тогда возведём его в квадрат: a6=(a+1)2=a2+2a+1=(a−1)2+4a⩾4a. Тогда a6−b6⩾4a−(b+3a);a6−b6⩾a−b;a6−a⩾b6−b. Рассмотрим функцию h(x)=x6−x, её производная h′=6x5−1>0 при x>1, следовательно, h(x) --- возрастающая функция на промежутке (1;+∞). Таким образом, неравенство примет вид: h(a)⩾h(b)⇔a⩾b. Проверим может ли a=b. Подставим a=b в оба условия {a3=a+1,b6=b+3a;{a3=a+1,a6=a+3a;{a3=a+1,(a+1)2=4a;{a3=a+1,a=1; Полученная система не имеет решений, значит, a=b, следовательно, a>b.
Область допустимых значений (ОДЗ): x>0. Используя свойства логарифмов: 23log23x+32log32x⩽65⋅x⋅log6x;65log23x⩽65⋅x⋅log6x;xlog6x−log23x⩾0. Используя формулу перехода к новому основанию logab=logcalogcb, получим: xlog6x−log623log6x⩾0;log6x(x−log236)⩾0. По методу рационализации на ОДЗ: (x−1)(x−log236)⩾0. Решаем полученное неравенство методом интервалов:
Задача 4МГУ
Решите уравнение sin2x−cos2x=tgx.
Ответ:4π+2πk,k∈Z
Решение
По формулам двойного аргумента: 2sinxcosx−(2cos2x−1)=cosxsinx;2cosx(sinx−cosx)−cosx1(sinx−cosx)=0;(sinx−cosx)(2cosx−cosx1)=0. Полученное уравнение равносильно следующей системе: {(sinx−cosx)(2cos2x−1)=0,cosx=0;⎩⎨⎧[tgx=1,cos2x=0,cosx=0;⎩⎨⎧x=4π+πk,x=4π+2πk,k∈Zx=2π+πn,n∈Z. Таким образом, получаем окончательный ответ: x=4π+2πk,k∈Z.
Задача 5МГУ
На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности Ω1 и Ω2 соответственно. Через точку D пересечения этих окружностей (отличную от A ) проведена прямая, пересекающая Ω1 и Ω2 в точках E и F соответственно, причём E и F лежат по одну сторону от AD (и отличны от D). Расстояние от A до середины M стороны BC равно 3, расстояние от A до середины N отрезка EF равно 2. Найдите MN.
Ответ:5.
Решение
Так как A и D точки пересечения окружностей, то AD --- общая хорда. При этом вписанные углы ADB и ADC опираются на диаметры AB и AC соответственно, а значит, прямые. Из этого получаем, что точка D лежит на стороне BC и AD --- высота треугольника ABC. Вписанные углы AFD и ACD равны, так как опираются на одну и ту же дугу AD. Четырёхугольник ABDE вписанный, следовательно, ∠AED=180∘−∠B. Угол AEF смежный с углом AED, значит: ∠AEF=180∘−∠AED=∠B. Таким образом, △ABC∼△AEF (по двум углам). Следовательно, ∠AMD=∠AND как соответствующие углы, образованные медианами и сторонами подобных треугольников. Кроме того, равные углы AMD и AND опираются на AD, значит, ANMD --- вписанный четырёхугольник. А так как ∠ADM=90∘, то ∠ANM=90∘. По теореме Пифагора в △ANM:MN2=AM2−AN2=5.
Задача 6МГУ
Положительные действительные числа a,b,c удовлетворяют равенству a+b+c=3. Найдите наибольшее возможное значение выражения a+b1(1+a)2+b+c1(1+b)2+c+a1(1+c)2
Ответ:6
Решение
Можно заметить, что a+b1(1+a)2⩽a+b. Докажем это. Домножим обе части неравенства на a+b1, тогда: (1+a)2⩽(a+b)(a+b1);1+2a+a2⩽a2+ba+ab+1;2a⩽ba+ab;∣⋅ab2b⩽1+b2;0⩽(b−1)2. Это верно при любых положительных значениях aиb. Таким образом, используя аналогичную оценку для всех трёх выражений, получим: a+b1(1+a)2+b+c1(1+b)2+c+a1(1+c)2⩽a+b+b+c+c+a=2(a+b+c)=6. Максимальное значение 6 достигается при a=b=c=1.
Задача 7МГУ
Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 23. Найдите площадь сечения этого тетраэдра плоскостью, касающейся сферы, вписанной в тетраэдр, и параллельной рёбрам AB и CD.
Ответ:2
Решение
Так как плоскость сечения параллельна рёбрам AB и CD, то плоскость сечения является параллелограммом, который назовём IVWY, где WVиIY∥AB,VIиWY∥CD. Заметим, что AB⊥CD, так как проекция стороны CD на плоскость ABC, перпендикулярна AB, следовательно, IVWY --- прямоугольник. Пусть VI=WY=x, а VW=IY=y, тогда x+y=BY+YC=BC=23, так как △CIY и BWY -- равносторонние. Пусть H --- центр равностороннего треугольника ABC,O --- центр сферы, вписанной в тетраэдр. Проведём OT⊥ABD, тогда OH=OT --- как радиусы сферы. Рассмотрим △DMC:DM=CM=BC⋅23=23⋅23=3 --- как высоты равносторонних треугольников. Точка H --- точка пересечения медиан △ABC, значит, HMCH=12, следовательно, CH=2,HM=1. По теореме Пифагора в △BHD:DH=BD2−BH2=12−4=22.△DOT∼△DMH (по двум углам), значит: MHOT=DHDT;1r=222;r=21. Проведем прямую PQ∥CD, касающуюся окружности в точке F. Также проведём ME⊥CD. По теореме Пифагора в △MEC:ME=MC2−EC2=9−3=6. По теореме Пифагора в △MOH:MO=HM2+HO2=1+21=26.△MPQ∼△MDC (по двум углам): ∠CDM --- общий, ∠MQP=∠MCD --- как соответственные, значит: CDPQ=MEMF=MEMO+OF=626+22, тогда PQ=266+2CD=3+1. Так как PQ=IV, то x+y=PQ+y=23;y=23−(3+1)=3−1. Таким образом: SIVWY=x⋅y=(3+1)⋅(3−1)=2.
Также заметим, что 
Аналогично, 
По теореме Пифагора в 
Рассмотрим 