Задача 1МГУ

Какое из следующих двух чисел больше:

\sqrt{\dfrac{20}{7}}+\dfrac{13}{3}

или 6?

Задача 2МГУ

Положительные действительные числа

a

и

b

удовлетворяют равенствам

a^3=a+1 \quad \text { и } \quad b^6=b+3 a

Определите, какое из чисел

a

и

b

больше другого.

Решение

Рассмотрим

f(a) = a^3-a-1

, найдём производную:

f^{\prime}(a) = 3a^2-1.

Находим нули производной:

3a^2-1 =0;

a^2= \dfrac{1}{3};

a = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Отметим промежутки убывания и возрастания функции

f(a)

:

Также заметим, что

f(0) <0

и

f(1)<0

, следовательно, корень уравнения

a^3-a-1=0

удовлетворяет условию

a>1

. Рассмотрим

g(b) = b^6-b-3a

, найдём производную:

g^{\prime}(b) = 6b^5-1.

Найдём нули производной:

6b^5-1 =0;

b^5= \dfrac{1}{6};

b = \dfrac{1}{\sqrt[5]{6}}.

Отметим промежутки убывания и возрастания функции

g(b)

:

Аналогично,

g(0)<0~и~g(1)<0

, следовательно, следовательно, корень уравнения

b^6-b-3a=0

удовлетворяет условию

b >1

. Левая и правая части равенства

a^3 =a+1

положительны, тогда возведём его в квадрат:

a^6 = (a+1)^2=a^2+2a+1=(a-1)^2+4a \geqslant 4a.

Тогда

a^6 -b^6 \geqslant4a - (b+3a);

a^6 -b^6 \geqslant a-b;

a^6-a \geqslant b^6-b.

Рассмотрим функцию

h(x) = x^6-x

, её производная

h^{\prime} = 6x^5 -1 > 0

при

x >1

, следовательно,

h(x)

--- возрастающая функция на промежутке

(1; + \infty)

. Таким образом, неравенство примет вид:

h(a) \geqslant h(b) \Leftrightarrow a \geqslant b.

Проверим может ли

a=b

. Подставим

a=b

в оба условия

\begin{cases} a^3=a+1, \\ b^6=b+3a; \end{cases}

\begin{cases} a^3=a+1, \\ a^6=a+3a; \end{cases}

\begin{cases} a^3=a+1, \\ (a+1)^2=4a; \end{cases}

\begin{cases} a^3=a+1, \\ a=1; \end{cases}

Полученная система не имеет решений, значит,

a \neq b

, следовательно,

a>b

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\log _{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}+\log _{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} \leqslant \dfrac{5}{6} \cdot x \cdot \log _6 x

.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\sin 2 x-\cos 2 x=\tg x

.

Задача 5МГУ

На сторонах

A B

и

A C

остроугольного треугольника

A B C

как на диаметрах построены окружности

\Omega_1

и

\Omega_2

соответственно. Через точку

D

пересечения этих окружностей (отличную от

A

) проведена прямая, пересекающая

\Omega_1

и

\Omega_2

в точках

E

и

F

соответственно, причём

E

и

F

лежат по одну сторону от

A D

(и отличны от

D

). Расстояние от

A

до середины

M

стороны

B C

равно 3, расстояние от

A

до середины

N

отрезка

E F

равно 2. Найдите

M N

.

Задача 6МГУ

Положительные действительные числа

a, b, c

удовлетворяют равенству

a+b+c=3

. Найдите наибольшее возможное значение выражения

\frac{(1+a)^2}{a+\frac{1}{b}}+\frac{(1+b)^2}{b+\frac{1}{c}}+\frac{(1+c)^2}{c+\frac{1}{a}}

Задача 7МГУ

Дан правильный тетраэдр

A B C D

с ребром

2 \sqrt{3}

. Найдите площадь сечения этого тетраэдра плоскостью, касающейся сферы, вписанной в тетраэдр, и параллельной рёбрам

A B

и

C D

.

Решение

Так как плоскость сечения параллельна рёбрам

AB

и

CD

, то плоскость сечения является параллелограммом, который назовём

IVWY

, где

WV ~и ~IY\parallel AB,~ VI ~и ~WY\parallel CD

. Заметим, что

AB \perp CD

, так как проекция стороны

CD

на плоскость

ABC

, перпендикулярна

AB

, следовательно,

IVWY

--- прямоугольник. Пусть

VI = WY = x

, а

VW = IY=y

, тогда

x+y = BY+YC=BC=2\sqrt{3},

так как

\triangle CIY

и

BWY

-- равносторонние. Пусть

H

--- центр равностороннего треугольника

ABC

,

O

--- центр сферы, вписанной в тетраэдр. Проведём

OT \perp ABD

, тогда

OH=OT

--- как радиусы сферы.

Рассмотрим

\triangle DMC

:

DM=CM = BC \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3

--- как высоты равносторонних треугольников. Точка

H

--- точка пересечения медиан

\triangle ABC

, значит,

\dfrac{CH}{HM}= \dfrac{2}{1}

, следовательно,

CH =2, ~HM = 1

. По теореме Пифагора в

\triangle BHD

:

DH = \sqrt{ BD^2 - BH^2} = \sqrt{12-4}=2\sqrt{2}.

\triangle DOT \sim \triangle DMH

(по двум углам), значит:

\dfrac{OT}{MH}= \dfrac{DT}{DH};

\dfrac{r}{1} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}};

r = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Проведем прямую

PQ \parallel CD

, касающуюся окружности в точке

F

. Также проведём

ME \perp CD

. По теореме Пифагора в

\triangle MEC

:

ME = \sqrt{MC^2 - EC^2} = \sqrt{9-3}=\sqrt{6}.

По теореме Пифагора в

\triangle MOH

:

MO = \sqrt{HM^2+HO^2 } = \sqrt{ 1 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.

\triangle MPQ \sim \triangle MDC

(по двум углам):

\angle CDM

--- общий,

\angle MQP = \angle MCD

--- как соответственные, значит:

\dfrac{PQ}{CD} = \dfrac{MF}{ME}= \dfrac{MO+OF}{ME} = \dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}},

тогда

PQ = \dfrac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{2\sqrt{6}}CD = \sqrt{3}+1

. Так как

PQ = IV

, то

x+y = PQ + y = 2\sqrt{3};

y = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3}+1)= \sqrt{3}-1.

Таким образом:

S_{IVWY} = x \cdot y = (\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3} -1) = 2.