ДВИ МГУ по математике — 2025, Поток 1
Условия, ответы и разборы всех задач потока
Задача 1МГУ
Известно, что x:y=9:7. Найдите x−yx+y.
Ответ:8
Решение
Из условия yx=79. Тогда x=79y. Подставим это в выражение: x−yx+y=79y−y79y+y=72y716y=8.
Задача 2МГУ
Дана последовательность a1, a2, a3, … действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном n равенству an+1=45−an Пусть Sn обозначает сумму первых n членов этой последовательности: Sn=a1+…+an. Найдите наименьшее значение n, при котором выполняется неравенство ∣Sn−n−8∣<10001, если известно, что a1=11.
Ответ:7
Решение
Выражение Sn−n можно представить как сумму, в которой из каждого члена последовательности вычли единицу: Sn−n=(a1+a2+…+an)−n=(a1−1)+(a2−1)+…+(an−1). Поэтому удобно ввести новую последовательность bn=an−1. Тогда bn+1=an+1−1=45−an−1=41−an=−4an−1=−41(an−1)=−41bn. Значит, (bn) --- геометрическая прогрессия со знаменателем q=−41. Первый член этой прогрессии равен b1=a1−1=11−1=10. Обозначим сумму первых n членов последовательности (bn) через Tn. Тогда Tn=b1+b2+…+bn=Sn−n. Найдём Tn по формуле суммы геометрической прогрессии: Tn=b1⋅1−q1−qn=10⋅1−(−41)1−(−41)n=10⋅451−(−41)n=8(1−(−41)n)=8−8(−41)n. Так как Tn=Sn−n, то Sn−n=8−8(−41)n. Тогда Sn−n−8=−8(−41)n. По условию ∣Sn−n−8∣<10001. Подставим найденное выражение: −8(−41)n<10001. Отсюда 8(41)n<10001. Перепишем левую часть через степени двойки: 8(41)n=23⋅2−2n=23−2n. Значит, нужно найти наименьшее натуральное n, при котором 23−2n<10001. Заметим, что 2−9=5121>10001, 2−10=10241<10001. Значит, должно выполняться неравенство 3−2n⩽−10, 2n⩾13, n⩾6,5. Так как n натуральное, то наименьшее подходящее значение: n=7.
Задача 3МГУ
Решите неравенство 1+log9(3x2+8x+6)>log3(3x2+8x+6).
Ответ:(−3;−35]∪[−1;31)
Решение
Сделаем замену: t=log9(3x2+8x+6). Тогда t⩾0 и t2=log9(3x2+8x+6)=21log3(3x2+8x+6). Следовательно, log3(3x2+8x+6)=2t2. Получаем неравенство 1+t>2t2, откуда 2t2−t−1<0, (t−1)(2t+1)<0. Так как t⩾0, то 2t+1>0, получаем t<1. Тогда log9(3x2+8x+6)<1. Отсюда 0⩽log9(3x2+8x+6)<1. Так как основание логарифма больше 1, получаем 1⩽3x2+8x+6<9. Перейдём к системе неравенств: {3x2+8x+6⩾1,3x2+8x+6<9. То есть {3x2+8x+5⩾0,3x2+8x−3<0. Разложим квадратные трёхчлены на множители: {(x+1)(3x+5)⩾0,(x+3)(3x−1)<0. Решим неравенства методом интервалов: 
Пересечём найденные промежутки: x∈(−3;−35]∪[−1;31).
Пересечём найденные промежутки: x∈(−3;−35]∪[−1;31).Задача 4МГУ
Решите уравнение sin2x+3cosx=3(1+cos2x+sinx).
Ответ:3π+πk, ±6π+2πk, k∈Z
Решение
Воспользуемся формулами: sin2x=2sinxcosx, cos2x=2cos2x−1. Тогда исходное уравнение можно переписать так: 2sinxcosx+3cosx=3(2cos2x+sinx). Перенесём всё в левую часть: 2sinxcosx−23cos2x+3cosx−3sinx=0. Сгруппируем слагаемые: 2cosx(sinx−3cosx)−3(sinx−3cosx)=0. Вынесем общий множитель: (sinx−3cosx)(2cosx−3)=0. Получаем совокупность: [sinx=3cosx,2cosx=3. В первом уравнении cosx=0, поэтому tgx=3,cosx=23. Решим каждое уравнение: tgx=3,x=3π+πk,k∈Z; cosx=23,x=±6π+2πk,k∈Z.
Задача 5МГУ
В треугольнике ABC проведена медиана AD. Известно, что AD:BC=3:2 и что ∠BAC=45∘. Найдите угол ∠BMC, где M --- точка пересечения медиан.
Ответ:135∘
Решение
Пусть BC=2x. Тогда, так как AD:BC=3:2, получаем AD=3x. Так как AD --- медиана, то BD=DC=x. Продлим медиану AD за точку D до точки E так, чтобы DE=AD=3x. Тогда диагонали AE и BC пересекаются в точке D и делятся этой точкой пополам, значит, ABEC --- параллелограмм. 
Так как M --- точка пересечения медиан треугольника ABC, то MD=31AD=33x=3x. Рассмотрим треугольники BDM и EDC. Имеем DEBD=3xx=31 и DCMD=x3x=31. Значит, DEBD=DCMD. Кроме того, углы ∠BDM и ∠EDC равны как вертикальные. Следовательно, △BDM∼△EDC. Из подобия получаем равенство соответственных углов: ∠BME=∠BCE. Значит, четырёхугольник BMCE можно вписать в окружность. Так как ABEC --- параллелограмм, то ∠BEC=∠BAC=45∘. Во вписанном четырёхугольнике BMCE сумма противоположных углов равна 180∘, значит, ∠BMC+∠BEC=180∘. Тогда ∠BMC=180∘−45∘=135∘.
Так как M --- точка пересечения медиан треугольника ABC, то MD=31AD=33x=3x. Рассмотрим треугольники BDM и EDC. Имеем DEBD=3xx=31 и DCMD=x3x=31. Значит, DEBD=DCMD. Кроме того, углы ∠BDM и ∠EDC равны как вертикальные. Следовательно, △BDM∼△EDC. Из подобия получаем равенство соответственных углов: ∠BME=∠BCE. Значит, четырёхугольник BMCE можно вписать в окружность. Так как ABEC --- параллелограмм, то ∠BEC=∠BAC=45∘. Во вписанном четырёхугольнике BMCE сумма противоположных углов равна 180∘, значит, ∠BMC+∠BEC=180∘. Тогда ∠BMC=180∘−45∘=135∘.Задача 6МГУ
Положительные действительные числа a1,a2,a3,b1,b2,b3 удовлетворяют равенству a1+a2+a3=b1+b2+b3=3 Найдите наименьшее возможное значение выражения a1+b1a12+a2+b2a22+a3+b3a32
Ответ:23
Решение
Выведем нужное нам неравенство из неравенства Коши--Буняковского--Шварца (КБШ). Для любых чисел x1, x2, …, xn и y1, y2, …, yn выполнено неравенство КБШ (x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)⩾(x1y1+x2y2+…+xnyn)2. Возьмём произвольные u1, u2, …, un, а также положительные v1, v2, …, vn. Выполним замену x1=v1u1,x2=v2u2,…,xn=vnun и y1=v1,y2=v2,…,yn=vn. Получаем (v1u12+v2u22+…+vnun2)(v1+v2+…+vn)⩾(u1+u2+…+un)2. Так как выражение v1+v2+…+vn>0, то разделим на него неравенство, получим v1u12+v2u22+…+vnun2⩾v1+v2+…+vn(u1+u2+…+un)2. Это и есть неравенство Коши--Буняковского--Шварца в дробной форме. Теперь применим его к выражению из условия. Возьмём u1=a1,u2=a2,u3=a3 и v1=a1+b1,v2=a2+b2,v3=a3+b3. Так как все числа положительные, то v1, v2, v3 положительны. Получаем a1+b1a12+a2+b2a22+a3+b3a32⩾(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)(a1+a2+a3)2. По условию a1+a2+a3=b1+b2+b3=3, тогда (a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)=3+3=6. Значит, a1+b1a12+a2+b2a22+a3+b3a32⩾69=23. Осталось показать, что это значение достигается. Возьмём a1=a2=a3=b1=b2=b3=1. Тогда условия выполнены: a1+a2+a3=3,b1+b2+b3=3. При этом a1+b1a12+a2+b2a22+a3+b3a32=21+21+21=23.
Задача 7МГУ
Дан тетраэдр ABCD. Рёбра AC и BD перпендикулярны прямой, проходящей через их середины. Найдите все возможные значения AB+BC, если известно, что AD+DC=1.
Ответ:1
Решение
Обозначим через N середину ребра AC, а через M --- середину ребра BD. Тогда по условию MN⊥AC,MN⊥BD. Проведём через отрезок AC плоскость α, перпендикулярную прямой MN. Аналогично, через отрезок BD проходит плоскость β, также перпендикулярная прямой MN. Эти плоскости параллельны. На рисунке окружности изображают эти две параллельные плоскости: точки A и C произвольно лежат на нижней окружности с центром N, а точки B и D --- на верхней окружности с центром M. Спроецируем точки B и D на плоскость α. Их проекции обозначим через B1 и D1 соответственно. 
Так как точка M --- середина отрезка BD, то её проекция N является серединой отрезка B1D1. Но N также является серединой отрезка AC. Значит, в четырёхугольнике AB1CD1 диагонали AC и B1D1 пересекаются и делятся пополам, поэтому AB1CD1 --- параллелограмм. Следовательно, AB1=CD1,AD1=CB1. Кроме того, отрезки BB1 и DD1 перпендикулярны плоскостям α и β, поэтому BB1=MN=DD1. Тогда прямоугольные треугольники ABB1 и CDD1 равны по двум катетам: AB1=CD1,BB1=DD1. Отсюда AB=DC. Аналогично, прямоугольные треугольники ADD1 и CBB1 равны по двум катетам: AD1=CB1,DD1=BB1. Следовательно, AD=BC. Значит, AB+BC=DC+AD=1.
Так как точка M --- середина отрезка BD, то её проекция N является серединой отрезка B1D1. Но N также является серединой отрезка AC. Значит, в четырёхугольнике AB1CD1 диагонали AC и B1D1 пересекаются и делятся пополам, поэтому AB1CD1 --- параллелограмм. Следовательно, AB1=CD1,AD1=CB1. Кроме того, отрезки BB1 и DD1 перпендикулярны плоскостям α и β, поэтому BB1=MN=DD1. Тогда прямоугольные треугольники ABB1 и CDD1 равны по двум катетам: AB1=CD1,BB1=DD1. Отсюда AB=DC. Аналогично, прямоугольные треугольники ADD1 и CBB1 равны по двум катетам: AD1=CB1,DD1=BB1. Следовательно, AD=BC. Значит, AB+BC=DC+AD=1.