Школьник

Студент

Учитель

ДВИ МГУ по математике — 2025, Поток 3

Поток 1 Поток 2 Поток 3 Поток 4 Поток 5 Поток 6 Резерв

Задача 1

Найдите наибольшее целое число, меньшее числа

\sqrt{7}+\sqrt{8}

Задача 2

Дана последовательность

a_1, a_2, a_3, \ldots

действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном

n \geqslant 3

равенству

a_n=(-1)^n \cdot 3 \cdot a_{n-1}+\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} .

Найдите

\sqrt[2024]{a_{2025}}

, если известно, что

a_1=1

a_2=4

Задача 3

Решите неравенство

\sqrt{\log _2^2\left(x^{\sqrt{2}}\right)-3 \log _4 x^6+13}>\log _2\left(\frac{x}{2}\right).

Задача 4

Решите уравнение

\dfrac{1}{\cos ^2 x}+\dfrac{12}{\sin ^2 2 x}+\dfrac{12}{\sin x \sin 2 x}=\dfrac{3}{\sin ^2 x}

Задача 5

На сторонах

A B, B C, A C

треугольника

A B C

отмечены точки

D, E, F

соответственно. На

B D

и на

F C

как на диаметрах построены окружности. Эти окружности касаются отрезка

A E

в одной и той же точке. Найдите

D F

, если известно, что

A B: A C=2: 3, B D: F C=1: 2

и что

B C=12

Задача 6

Положительные действительные числа

a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7

удовлетворяют неравенствам

a_i+a_j \geqslant a_{i+j}

при всех натуральных

i, j

, таких что

i+j \leqslant 7

. Найдите наименьшее возможное значение выражения

\frac{a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{5}+\frac{a_6}{6}+\frac{a_7}{7}}{a_7} .

Задача 7

Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен 1. Радиус окружности, вписанной в основание этой пирамиды, равен

\frac{1+\sqrt{5}}{2}

. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

ДВИ МГУ по математике — 2025, Поток 3

Поток 1 Поток 2 Поток 3 Поток 4 Поток 5 Поток 6 Резерв

Задача 1

Найдите наибольшее целое число, меньшее числа

\sqrt{7}+\sqrt{8}

Задача 2

Дана последовательность

a_1, a_2, a_3, \ldots

действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном

n \geqslant 3

равенству

a_n=(-1)^n \cdot 3 \cdot a_{n-1}+\frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} .

Найдите

\sqrt[2024]{a_{2025}}

, если известно, что

a_1=1

a_2=4

Задача 3

Решите неравенство

\sqrt{\log _2^2\left(x^{\sqrt{2}}\right)-3 \log _4 x^6+13}>\log _2\left(\frac{x}{2}\right).

Задача 4

Решите уравнение

\dfrac{1}{\cos ^2 x}+\dfrac{12}{\sin ^2 2 x}+\dfrac{12}{\sin x \sin 2 x}=\dfrac{3}{\sin ^2 x}

Задача 5

На сторонах

A B, B C, A C

треугольника

A B C

отмечены точки

D, E, F

соответственно. На

B D

и на

F C

как на диаметрах построены окружности. Эти окружности касаются отрезка

A E

в одной и той же точке. Найдите

D F

, если известно, что

A B: A C=2: 3, B D: F C=1: 2

и что

B C=12

Задача 6

Положительные действительные числа

a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7

удовлетворяют неравенствам

a_i+a_j \geqslant a_{i+j}

при всех натуральных

i, j

, таких что

i+j \leqslant 7

. Найдите наименьшее возможное значение выражения

\frac{a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{5}+\frac{a_6}{6}+\frac{a_7}{7}}{a_7} .

Задача 7

\frac{1+\sqrt{5}}{2}

. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.