ДВИ МГУ по математике — 2024, Резерв

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6Резерв
Задача 1МГУ
Найдите целое число, задаваемое выражением 16(1+sin⁡π3)(1−cos⁡π6)16^{\left(1+\sin \frac{\pi}{3}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{6}\right)}
Задача 2МГУ
Натуральные числа aa и bb таковы, что число a+2ba+2 b делится на 5 , а число a+5ba+5 b делится на 2. Найдите наименьшее значение суммы a+ba+b.
Задача 3МГУ
Решите неравенство log⁡xlog⁡7(72x−20)⩾1\log _x \log _7\left(7^{2 x}-20\right) \geqslant 1.
Задача 4МГУ
Решите уравнение sin⁡x+sin⁡2x=cos⁡x+cos⁡2x\sin x+\sin 2 x=\cos x+\cos 2 x.
Задача 5МГУ
На биссектрисе угла ALA L треугольника ABCA B C отмечена точка MM. Пусть A′,B′,C′A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} точки пересечения окружности, описанной около треугольника ABCA B C, с прямыми AM,BM,CMA M, B M, C M соответственно, отличные от точек A,B,CA, B, C. Пусть PP -- точка пересечения отрезков ABA B и A′C′A^{\prime} C^{\prime} и пусть QQ -- точка пересечения отрезков ACA C и A′B′A^{\prime} B^{\prime}. Найдите отношение площади треугольника ABCA B C к площади треугольника APQA P Q, если известно, что BC:PQ=3B C: P Q=3.
Задача 6МГУ
Действительные числа a,b,ca, b, c удовлетворяют соотношениям a+b+c=4a+b+c=4 и a2+b2+c2=8a^2+b^2+c^2=8. Найдите наибольшее возможное значение cc.
Задача 7МГУ
Дан куб ABCDA′B′C′D′A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} с основанием ABCDA B C D и боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′,DD′A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}, D D^{\prime}. На ребрах A′B′,BC,CD,A′D′A^{\prime} B^{\prime}, B C, C D, A^{\prime} D^{\prime} отмечены соответственно точки K,L,M,NK, L, M, N, так что A′K=BLA^{\prime} K=B L и A′N=DMA^{\prime} N=D M. Найдите все возможные значения угла между прямыми пересечения плоскости A′BDA^{\prime} B D с плоскостями AKMA K M и ANLA N L.