ДВИ МГУ по математике — 2024, Поток 4

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6Резерв
Задача 1МГУ
Дана функция f(x)=(x+1)2+x2(x+1)2−x2f(x)=\dfrac{(x+1)^{2}+x^{2}}{(x+1)^{2}-x^{2}}. Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа f(2024)f(2024).
Задача 2МГУ
Вычислите сумму 111+2+111+2+3+111+2+3+4+…+111+2+…+10\dfrac{11}{1+2}+\dfrac{11}{1+2+3}+\dfrac{11}{1+2+3+4}+\ldots+\dfrac{11}{1+2+\ldots+10}.
Задача 3МГУ
Решите неравенство log⁡9(x+13)−log⁡3(x−13)⩾1\log _{9}\left(x+\dfrac{1}{3}\right)-\log _{3}\left(x-\dfrac{1}{3}\right) \geqslant 1.
Задача 4МГУ
Решите уравнение cos⁡2x+tg⁡x⋅tg⁡2x2=1\cos 2 x+\dfrac{\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 2 x}{2}=1.
Задача 5МГУ
В окружность Ω\Omega вписан четырёхугольник ABCDA B C D. На стороне BCB C отмечена точка EE таким образом, что CD=CE=1C D=C E=1 и ∠AED=30∘\angle A E D=30^{\circ}. Найдите радиус окружности Ω\Omega, если известно, что ∠ACD=25∘\angle A C D=25^{\circ} и ∠ACB=75∘\angle A C B=75^{\circ}.
Задача 6МГУ
Многочлен f(x)f(x) второй степени имеет действительные коэффициенты. Попарно различные действительные числа a,b,ca, b, c удовлетворяют условиям f(a)=bc,f(b)=f(a)=b c, f(b)= =ca,f(c)=ab=c a, f(c)=a b. Найдите все возможные значения выражения f(a)+f(b)+f(c)f(a+b+c)\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{f(a+b+c)} при условии, что f(a+b+c)≠0f(a+b+c) \neq 0.
Задача 7МГУ
Дан куб со стороной 1, основаниями ABCD,A′B′C′D′A B C D, A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} и боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime} и DD′D D^{\prime}. На рёбрах A′B′,B′B,BC,CD,DD′,D′A′A^{\prime} B^{\prime}, B^{\prime} B, B C, C D, D D^{\prime}, D^{\prime} A^{\prime} отмечены точки K,L,M,N,O,PK, L, M, N, O, P соответственно. Найдите отношение, в котором плоскость KMOK M O делит объём куба, если известно, что ∠A′AK=∠LAK,∠BAM=∠NAM,∠DAO=∠PAO\angle A^{\prime} A K=\angle L A K, \angle B A M=\angle N A M, \angle D A O=\angle P A O и что A′K+LB=BM+ND=A^{\prime} K+L B=B M+N D= DO+PA′=5/4D O+P A^{\prime}=5/4.