Найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной чётной цифры и одной нечётной цифры (чётные цифры -- это 0,2,4,6,8, нечётные -- все остальные).
Ответ:2450
Решение
Сначала посчитаем все числа из чётной и нечётной цифры, включая варианты с нулём в начале. Всего таких чисел 55, их общая сумма равна (0+1+2+…+9)⋅55=45⋅55=2475 (потому что в каждом разряде каждая цифра от 0 до 9 встречается по 5 раз, а сумма всех цифр — 45). Из них вычитаем 5 чисел, начинающихся с нуля: 01, 03, 05, 07, 09, их сумма равна 25. Получаем 2475−25=2450.
Задача 3МГУ
Решите неравенство x2+4x+12+4x−x24x2−164x−8>0.
Ответ:x∈[0;4)∪(4;6]
Решение
Найдём ОДЗ неравенства: ⎩⎨⎧x2+4x⩾0,12+4x−x2⩾0,x2+4x+12+4x−x2=0,x∈R;{x(x+4)⩾0,(1)(x+2)(x−6)⩽0.(2) Знаменатель всегда положителен, поэтому домножим на него неравенство: 4x2−48x−16>0. Воспользуемся методом рационализации: x2−8x+16>0;(x−4)2>0;x=4;x∈[0;4)∪(4;6].
Задача 4МГУ
Решите уравнение 2sin3x=cos3x.
Ответ:−4π+πk,arctg21+πk,k∈Z
Решение
2sin3x=4cos3x−3cosx⋅(cos2x+sin2x);2sin3x+3sin2xcosx−cos3x=0. Поделим на cos3x=0:2tg3x+3tg2x−1=0;t=tgx:2t3+3t2−1=0;(t+1)(2t2+t−1)=0;(t+1)2(2t−1)=0;[tgx=−1,tgx=21;x=−4π+πk,k∈Zx=arctg21+πk.
Задача 5МГУ
На стороне BC остроугольного треугольника ABC отмечена точка D, отличная от B и C. Пусть E -- точка пересечения отрезка AC с окружностью, описанной около треугольника ABD, отличная от A. Пусть F -- точка пересечения отрезка AB с окружностью, описанной около треугольника ACD, отличная от A. Пусть D′,E′,F′ -- точки пересечения окружности, описанной около треугольника ABC, с прямыми AD,BE,CF соответственно, отличные от точек A,B,C. Найдите угол ∠E′D′F′, если известно, что ∠EDF=30∘.
Ответ:30∘
Решение
ACDF,ABDE -- вписанные четырёхугольники.
Задача 6МГУ
Найдите все тройки положительных чисел x,y,z, удовлетворяющие системе уравнений {(x2+xy+y2)(y2+yz+z2)(z2+zx+x2)=xyz(x4+x2y2+y4)(y4+y2z2+z4)(z4+z2x2+x4)=x3y3z3
Ответ:31
Решение
{(x2+xy+y2)(y2+yz+z2)(z2+zx+x2)=xyz,(1)(x4+x2y2+y4)(y4+y2z2+z4)(z4+z2x2+x4)=x3y3z3.(2) Рассмотрим уравнение (2): x4+x2y2+y4=(x4+2x2y2+y4)−x2y2=(x2+y2)2−x2y2=(x2+xy+y2)(x2−xy+y2);y4+y2z2+z4=(y2+yz+z2)(y2−yz+z2);z4+x2z2+x4=(z2+xz+x2)(z2−xz+x2). Разделим (2) на (1): P=(x2−xy+y2)(y2−yz+z2)(z2−zx+x2)=x2y2z2.(3) Так как для положительных x,y,z выполняются неравенства x2−xy+y2⩾xy,y2−yz+z2⩾yz,z2−zx+x2⩾zx, то, перемножив их, получаем P⩾x2y2z2. Из (3) имеем P=x2y2z2, значит, все три неравенства обращаются в равенства. Это возможно только при x=y,y=z,z=x, то есть x=y=z. Подставим x=y=z в (1): (3x2)3=x3;27x3=1;x=31=y=z.
Задача 7МГУ
В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 3. Найдите объём призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых рёбер и всех рёбер верхнего основания.
