ДВИ МГУ по математике — 2024, Поток 3

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1 Поток 2 Поток 3 Поток 4 Поток 5 Поток 6 Резерв

Задача 1МГУ

Найдите целое число, задаваемое выражением

\log _{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg} \dfrac{\pi}{6}\right)+\log _{\frac{1}{2}}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}\right)

Задача 2МГУ

Найдите сумму всех двузначных чисел, состоящих из одной чётной цифры и одной нечётной цифры (чётные цифры -- это

0,~2,~4,~6,~8

, нечётные -- все остальные).

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\frac{4^{x^{2}}-16^{4 x-8}}{\sqrt{x^{2}+4 x}+\sqrt{12+4 x-x^{2}}}>0 .

Задача 4МГУ

Решите уравнение

2 \sin ^{3} x=\cos 3 x

Задача 5МГУ

На стороне

B C

остроугольного треугольника

A B C

отмечена точка

D

, отличная от

B

C

. Пусть

E

-- точка пересечения отрезка

A C

с окружностью, описанной около треугольника

A B D

, отличная от

A

. Пусть

F

-- точка пересечения отрезка

A B

с окружностью, описанной около треугольника

A C D

, отличная от

A

. Пусть

D^{\prime}, E^{\prime}, F^{\prime}

-- точки пересечения окружности, описанной около треугольника

A B C

, с прямыми

A D, B E, C F

соответственно, отличные от точек

A, B, C

. Найдите угол

\angle E^{\prime} D^{\prime} F^{\prime}

, если известно, что

\angle E D F=30^{\circ}

Задача 6МГУ

Найдите все тройки положительных чисел

x, y, z

, удовлетворяющие системе уравнений

\left\{\begin{array}{l} \left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\left(y^{2}+y z+z^{2}\right)\left(z^{2}+z x+x^{2}\right)=x y z \\ \left(x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}\right)\left(y^{4}+y^{2} z^{2}+z^{4}\right)\left(z^{4}+z^{2} x^{2}+x^{4}\right)=x^{3} y^{3} z^{3} \end{array}\right.

Решение

\left\{\begin{array}{l} \left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\left(y^{2}+y z+z^{2}\right)\left(z^{2}+z x+x^{2}\right)=x y z, \ (1)\\ \left(x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}\right)\left(y^{4}+y^{2} z^{2}+z^{4}\right)\left(z^{4}+z^{2} x^{2}+x^{4}\right)=x^{3} y^{3} z^{3}. \ (2) \end{array}\right.

Рассмотрим уравнение (2):

x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}= (x^{4}+2x^{2} y^{2}+y^{4})-x^{2} y^{2} = (x^2 + y^2)^2 - x^{2} y^{2} = (x^{2}+x y+y^{2}) (x^{2}-x y+y^{2});

y^4 + y^2 z^2 + z^4 = (y^2 + yz + z^2)(y^2 - yz + z^2);

z^4 + x^2 z^2 + x^4 = (z^2 + xz + x^2)(z^2 - xz + x^2).

Разделим (2) на (1):

P=(x^2 - xy + y^2)(y^2 - yz + z^2)(z^2 - zx + x^2) = x^2 y^2 z^2. \ (3)

Так как для положительных

x, y, z

выполняются неравенства

x^2 - xy + y^2 \geqslant xy, \quad y^2 - yz + z^2 \geqslant yz, \quad z^2 - zx + x^2 \geqslant zx,

то, перемножив их, получаем

P \geqslant x^2y^2z^2

. Из (3) имеем

P = x^2y^2z^2

, значит, все три неравенства обращаются в равенства. Это возможно только при

x = y

y = z

z = x

, то есть

x = y = z

. Подставим

x = y = z

в (1):

(3x^2)^3=x^3;

27x^3=1;

x=\frac{1}{3}=y=z.

Задача 7МГУ

В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 3. Найдите объём призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых рёбер и всех рёбер верхнего основания.