ДВИ МГУ по математике — 2024, Поток 6

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6Резерв
Задача 1МГУ
Найдите наименьшее целое число, превосходящее число log⁡2(3+22)−log⁡2(1+2)\log _{2}(3+2 \sqrt{2})-\log _{2}(1+\sqrt{2}).
Задача 2МГУ
Найдите количество всех упорядоченных четвёрок чисел a,b,c,da, b, c, d, таких что числа a2−ab+b2a^{2}-a b+b^{2}, b2−b∈+c2,c2−cd−d2b^{2}-b \in+c^{2}, c^{2}-c d-d^{2} равны друг другу, если известно, что каждое из чисел a,b,c,da, b, c, d равно либо 1 , либо 2 , либо 3 , а число а является среди них наибольшим.
Задача 3МГУ
Решите неравенство log⁡x−1(2x−5)+log⁡4x2−20x+25(x2−2x+1)−log⁡2x−5(4x2−20x+25)⩽0\log _{x-1}(2 x-5)+\log _{4 x^{2}-20 x+25}\left(x^{2}-2 x+1\right)-\log _{2 x-5}\left(4 x^{2}-20 x+25\right) \leqslant 0
Задача 4МГУ
Решите уравнение tg⁡x−4sin⁡x=3\operatorname{tg} x-4 \sin x=\sqrt{3}.
Задача 5МГУ
В треугольнике ABCA B C угол AA является тупым. На стороне BCB C отмечена точка DD таким образом, что AC=CDA C=C D. При этом окружность, описанная около треугольника ACDA C D, касается прямой ABA B в точке AA. На прямой ADA D отмечена точка EE таким образом, что CE=EA=ABC E=E A=A B. Найдите отношение BC:ABB C: A B.
Задача 6МГУ
Многочлен f(x)=x4−12x3+ax2+bx+81f(x)=x^{4}-12 x^{3}+a x^{2}+b x+81 с действительными aa и bb допускает разложение f(x)=(x−c1)(x−c2)(x−c3)(x−c4)f(x)=\left(x-c_{1}\right)\left(x-c_{2}\right)\left(x-c_{3}\right)\left(x-c_{4}\right) с некоторыми действительными c1,c2,c3,c4c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}. Найдите все возможные значения f(5)f(5).
Задача 7МГУ
Расстояние от середины высоты правильной четырёхугольной пирамиды до боковой грани равно 2\sqrt{2}, а до бокового ребра −3-\sqrt{3}. Найдите объём пирамиды.