Задача 1МГУ

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа

\dfrac{2+\cos{\frac{\pi}{5}}}{3}+\dfrac{3+\sin{\left(\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{2}\right)}}{2}.

Задача 2МГУ

Натуральные числа

a_{1}, \ldots, a_{n}

образуют строго возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения

n

, если известно, что

n

нечётно,

n>1

и сумма

a_{1}+\ldots+a_{n}

равна 2024.

Задача 3МГУ

Решить неравенство

\log_{x+3}{(x^2-7x+12)}\leqslant2

.

Задача 4МГУ

Решить уравнение

\dfrac{\tg{3x}+\tg{x}}{1+\tg{3x}\tg{x}}=\tg{4x}\tg{2x}.

Решение

Преобразуем левую часть:

\dfrac{\tg{3x}+\tg{x}}{1+\tg{3x}\tg{x}} = \dfrac{\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} + \dfrac{\sin x}{\cos x}} {1 + \dfrac{\sin 3x \sin x}{\cos 3x \cos x}}.

Домножим числитель и знаменатель на

\cos 3x \cos x

, учитывая, что

\cos 3x \neq 0

и

\cos x \neq 0

:

\frac{\sin 3x \cos x + \sin x \cos 3x}{\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x} = \frac{\sin (3x + x)}{\cos (3x - x)} = \frac{\sin 4x}{\cos 2x}.

Преобразуем правую часть:

\tg{4x}\tg{2x}= \frac{\sin 4x \sin 2x}{\cos 4x \cos 2x}.

Получим:

\frac{\sin 4x}{\cos 2x} = \frac{\sin 4x \sin 2x}{\cos 4x \cos 2x};

\frac{\sin 4x}{\cos 2x} - \frac{\sin 4x \sin 2x}{\cos 4x \cos 2x}=0;

\frac{\sin 4x}{\cos 2x} \left( 1 - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \right) = 0;

\frac{\sin 4x \left( \cos 4x - \sin 2x \right)}{\cos 2x \cos 4x} = 0;

\frac{2\sin 2x\cos 2x(1 - 2\sin^2 x - \sin 2x)}{\cos 2x \cos 4x} = 0;

\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ 2\sin^2 x + \sin 2x - 1 = 0 , \ (*) \end{array} \right. \\ \cos 2x \neq 0, \\ \cos 4x \neq 0. \end{cases}

Решим уравнение

(*)

:

\sin 2x = t;

2t^2 + t - 1 = 0;

t = -1 \quad \text{или} \quad t = \frac{1}{2};

Вернёмся к совокупности:

\left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0, \\ \sin 2x = -\dfrac{1}{2}, \\ \sin 2x = \dfrac{1}{2}; \end{array} \right. \quad \left[ \begin{array}{l} 2x = \pi k, \\[4pt] 2x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \\ 2x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \\[7pt] 2x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k; \end{array} \right. \ k \in \mathbb{Z} \quad \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi k}{2}, \\[6pt] x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k, \\[6pt] x = \dfrac{\pi}{12} + \pi k, \\[8pt] x = \dfrac{5\pi}{12} + \pi k. \end{array} \right. \ k \in \mathbb{Z}

С учётом ограничений получим:

\left[ \begin{array}{l} x= \pi k, \\ x= \dfrac{\pi}{12} + \pi k, \\[8pt] x= \dfrac{5\pi}{12} + \pi k; \end{array} \right. \ k \in \mathbb{Z}.

Задача 5МГУ

Окружность, вписанная в треугольник

ABC

, касается стороны

AC

в точке

D

. Известно, что

AD=2+\sqrt3

,

CD=\sqrt3

. Найдите

\angle CAB

, если известно также, что он в два раза меньше

\angle ACB

.

Решение

Пусть

O

-- центр вписанной окружности. Проведём биссектрисы

AO

и

CO

. Пусть

\angle BAO = \angle DAO = \alpha

, тогда

\angle BCO = \angle DCO = 2 \alpha.

Опустим радиус

OD

в точку касания,

OD=r,

\angle ODC=90^\circ.

Из

\triangle AOD

:

\operatorname{tg}\alpha = \frac{r}{2+\sqrt{3}}, \quad r = (2+\sqrt{3})\operatorname{tg}\alpha.

Из

\triangle COD

:

\operatorname{tg}2\alpha = \frac{r}{\sqrt{3}}, \quad r = \sqrt{3}\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}.

Приравняем радиусы:

(2+\sqrt{3})\operatorname{tg}\alpha = \frac{2\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha};

2+\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{1-\operatorname{tg}^2\alpha};

2+\sqrt{3} - (2+\sqrt{3})\operatorname{tg}^2\alpha = 2\sqrt{3};

(2+\sqrt{3})\operatorname{tg}^2\alpha = 2-\sqrt{3}; \qquad |\cdot (2-\sqrt{3})

\operatorname{tg}^2\alpha = (2-\sqrt{3})^2;

\operatorname{tg}\alpha = 2-\sqrt{3}.

Найдём

\operatorname{tg}2\alpha

:

\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{4-2\sqrt{3}}{1-(4-4\sqrt{3}+3)} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}-6} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})} = \frac{1}{\sqrt{3}};

\angle CAB = 2 \alpha = 30^\circ.

Задача 6МГУ

Числа

a,~b,~c

положительны и удовлетворяют соотношению

a+b+c=1

. Найдите наименьшее возможное значение выражения

\dfrac{1+a}{1-a}\cdot\dfrac{1+b}{1-b}\cdot\dfrac{1+c}{1-c}.

Решение

Пусть

F = \frac{1 + a}{1 - a} \cdot \frac{1 + b}{1 - b} \cdot \frac{1 + c}{1 - c}.

Так как

a + b + c = 1

и

a, \ b, \ c

положительны, то

a, \ b, \ c \in (0; 1)

. Сделаем замену:

\begin{cases} x = 1 - a ,\\ y = 1 - b , \\ z = 1 - c; \end{cases} \quad x, y, z \in (0; 1).

Сложив уравнения, получим:

x + y + z = 3 - a - b - c = 3 - (a+b+c)=2.

Преобразуем исходное выражение:

F=\frac{2-x}{x} \cdot \frac{2-y}{y} \cdot \frac{2-z}{z} = \left(\frac{2}{x} - 1\right)\!\left(\frac{2}{y} - 1\right)\!\left(\frac{2}{z} - 1\right) = \frac{8}{xyz} + \left(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}\right) - \left(\frac{4}{xy} + \frac{4}{yz} + \frac{4}{xz}\right) - 1;

Преобразуем скобку:

\left(\frac{4}{xy} + \frac{4}{yz} + \frac{4}{xz}\right)= \frac{4(x+y+z)}{xyz} = \frac{8}{xyz}.

Подставим:

F=\frac{8}{xyz} + \left(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}\right) - \frac{8}{xyz} - 1 = \left(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}\right)- 1 = 2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) - 1.

Теперь оценим сумму

\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}

. По неравенству Коши (среднее арифметическое не меньше среднего гармонического):

\frac{x+y+z}{3} \geq \frac{3}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}};

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z};

Получим:

2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) - 1 \geqslant \frac{18}{x+y+z} - 1 = 8.

F = 8 \text{ при } x = y = z = \dfrac{2}{3}.

F = 8 \text{ при } a = b = c = \dfrac{1}{3}

.

Задача 7МГУ

Плоскость

\pi

перпендикулярна ребру

SA

правильной треугольной пирамиды

ABCS

с вершиной

S

и основанием

ABC

, делит это ребро в отношении

1:2

(считая от вершины

S

) и проходит через середину ребра

SB

. Найдите угол между плоскостью

\pi

и плоскостью основания пирамиды.

Решение

Так как плоскость

\pi

перпендикулярна ребру

SA

, то она пересекает любую плоскость, содержащую

SA

, по прямой, перпендикулярной

SA

. Поэтому в плоскости грани

ASB

через точку

M

проводим прямую, перпендикулярную

SA

, -- это и будет линия пересечения плоскости

\pi

с гранью

ASB

. Аналогично, в плоскости грани

ASC

через точку

M

проводим прямую, перпендикулярную

SA

, -- это линия пересечения

\pi

с гранью

ASC

. Соединив точки, получим сечение. Треугольники

ASB

и

ASC

равны. В этих треугольниках из точек

N

и

K

восстановлены перпендикуляры к ребру

SA

. Следовательно, прямоугольные треугольники

MSN

и

MSK

равны по катету и острому углу, значит, соответствующие элементы этих треугольников равны.

SN=SK=\dfrac{1}{2}SB

, отсюда

SK=KC

, значит

NK

-- средняя линия в

\triangle BSC

. Пусть ребро пирамиды равно

6x

, тогда

SK=3x

,

SM=2x

,

AM=4x

. Из

\triangle SMN

:

\cos \angle MSN = \frac{MS}{SN}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.

По теореме косинусов в треугольнике

ASB

найдём

AB

:

AB^2 = 72x^2 - 72x^2 \cdot \frac{2}{3} = 24x^2;

AB = 2x\sqrt{6} .

Построим средние линии

LN

и

LK

в треугольниках

ABS

и

ASC

соответственно. Получим

LN \parallel AB

,

NK \parallel BC

. Поскольку две пересекающиеся прямые плоскости

(LNK)

соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости

(ABC)

, то плоскость

(LNK)

параллельна плоскости

(ABC)

. Проведём в треугольнике

MNK

высоту

MP

. Так как

MN = MK

(треугольник

MNK

равнобедренный), то

MP

является также медианой, а значит,

P

--- середина

NK

. Треугольник

LNK

равносторонний, поскольку его стороны являются средними линиями соответствующих граней правильной пирамиды. Высота, проведённая из вершины

L

на сторону

NK

, попадает в её середину, то есть в точку

P

. Прямая

NK

является линией пересечения плоскостей

\pi

и

(LNK)

. В плоскости

\pi

проведена высота

MP \perp NK

, а в плоскости

(LNK)

проведена высота

LP \perp NK

. Следовательно, угол

LPM

-- искомым угол между плоскостями.

LN=\dfrac{1}{2}AB=x \sqrt{6}.

LS=3x

,

MS=2x

, отсюда

LM=x.

Найдём

LP

из равностороннего треугольника

LNK

:

LP = \frac{LN\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

Из треугольника

LMP

:

\sin \angle LPM = \frac{2x}{3x\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3};

\angle LPM = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{3} .