Задача 1МГУ

Найдите целое число, задаваемое выражением

\sqrt{\dfrac{3-\sqrt5}{3+\sqrt5}}+\sqrt{\dfrac{3+\sqrt5}{3-\sqrt5}}

.

Задача 2МГУ

Найдите сумму всех натуральных чисел

n

, для которых число

n^2+7n+1

является квадратом некоторого натурального числа.

Задача 3МГУ

Рещите неравенство

8^{\log_{x^2-1}{(x-1)}}+8^{\log_{x^2-1}{(x+1)}}\leqslant6

.

Решение

Найдём ОДЗ неравенства:

\begin{cases} x-1>0, \\ x+1>0, \\ x^2-1>0, \\ x^2-1 \neq 0; \end{cases} \quad x>1, \quad x \in (1; + \infty).

Заметим, что:

\log_{x^2-1}(x-1) + \log_{x^2-1}(x+1) = 1.

Заменим

\log_{x^2-1}(x-1) = t

.

8^t + 8^{1-t} \leqslant 6;

8^t + \frac{8}{8^t} \leqslant 6.

Замена

8^t = y, \ y > 0

:

y^2 - 6y + 8 \leqslant 0;

(y-2)(y-4) \leqslant 0;

(8^t - 2)(8^t - 4) \leqslant 0;

(2^{3t} - 2^1)(2^{3t} - 2^2) \leqslant 0.

Применим метод рационализации:

(2-1)^2(3t-1)(3t-2) \leqslant 0;

\bigl(3\log_{x^2-1}(x-1) - 1\bigr)\bigl(3\log_{x^2-1}(x-1) - 2\bigr) \leqslant 0;

\bigl(\log_{x^2-1}(x-1)^3 - \log_{x^2-1}(x^2-1)\bigr) \bigl(\log_{x^2-1}(x-1)^3 - \log_{x^2-1}(x^2-1)^2\bigr) \leqslant 0.

Применим метод рационализации:

(x^2-2)^2\bigl((x-1)^3 - (x^2-1)\bigr)\bigl((x-1)^3 - (x^2-1)^2\bigr) \leqslant 0;

(x^2-2)^2(x-1)(x^2-2x+1-x-1)(x-1)^2(x-1-x^2-2x-1) \leqslant 0;

Рассмотрим

x-1-x^2-2x-1=0

:

-x^2-x-2=0, \ x^2+x+2=0, \ D= 1- 4 \cdot 2 <0,

значит выражение всегда меньше нуля. Поделим на него неравенство и поменяем знак:

x(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2 (x-3) (x-1)^3 \geqslant 0;

Решим методом интервалов:
С учётом ОДЗ:

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\sin{x}+\sin{2x}+\cos{x}=1

.

Задача 5МГУ

Вокруг остроугольного треугольника

ABC

описана окружность. На дуге

CA

(не содержащей точку

B

) этой окружности отмечена некоторая точка

P

. Прямая, проходящая через точки

B

и

H

, где

H

-- точка пересечения высот треугольника

ABC

, пересекает отрезок

AP

в точке

Q

. Найдите отношение

AC

к

BC

, если известно, что точки

C,~P,~Q,~H

лежат на одной окружности.

Задача 6МГУ

Число

x_0

является общим корнем многочленов

x^3+ax^2+bx+c,~x^3+bx^2+cx+a,

x^3+cx^2+ax+b

. Найдите все возможные значения

x_0

, если известно, что

a>b>c

.

Решение

\begin{cases} x^3 + ax^2 + bx + c = 0,\ (1) \\ x^3 + bx^2 + cx + a = 0, \ (2)\\ x^3 + cx^2 + ax + b = 0.\ (3) \end{cases}

Вычтем уравнение (2) из (1):

(a-b)x^2 + (b-c)x + (c-a) = 0.

Вычтем уравнение (3) из (2):

(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0.

Получим систему:

\begin{cases} (a-b)x^2 + (b-c)x + (c-a) = 0 \quad |\cdot (b-c) \\ (b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0 \quad |\cdot (a-b) \end{cases}

Вычтем:

\bigl((b-c)^2 - (c-a)(a-b)\bigr)x + (c-a)(b-c) - (a-b)^2 = 0;

(b^2 - 2bc + c^2 - ac + bc + a^2 - ab)x + bc - ab - c^2 + ac - a^2 + 2ab - b^2 = 0;

(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)x = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac.

Докажем, что слагаемое при

x

не равно 0:

a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = \frac{1}{2}\bigl(a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2\bigr) = \frac{1}{2}\bigl((a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2\bigr) > 0.

Выразим

x

:

x = 1.

Подставим

x = 1

в (1):

a + b + c + 1 = 0;

c = -a - b - 1;

a = 2, \quad b = 1, \quad c = -4.

Задача 7МГУ

В основании пирамиды лежит трапеция

ABCD

,

AD \parallel BC

,

AD=2BC

. Сфера радиуса 1 касается плоскости основания пирамиды и плоскостей её боковых граней

ADS

и

BCS

. Найдите отношение, в котором делит объём пирамиды плоскость

ADT

, где

T

-- точка касания сферы с плоскостью

BCS

, если грань

ADS

перпендикулярна плоскости основания, а высота пирамиды равна 4.