Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2024, Поток 5

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Поток 5Поток 6Резерв
Задача 1
Найдите наименьшее целое число, превосходящее число (1625)cos⁡(π/3)+(925)−sin⁡(π/6)\left(\dfrac{16}{25}\right)^{\cos (\pi / 3)}+\left(\dfrac{9}{25}\right)^{-\sin (\pi / 6)}(2516​)cos(π/3)+(259​)−sin(π/6).
Задача 2
Числа a1,a2,…,a20a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{20}a1​,a2​,…,a20​ образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность, если известно, что a12+a32+…+a192=1330,a22+a42+…+a202=1540a_{1}^{2}+a_{3}^{2}+\ldots+a_{19}^{2}=1330, a_{2}^{2}+a_{4}^{2}+\ldots+a_{20}^{2}=1540a12​+a32​+…+a192​=1330,a22​+a42​+…+a202​=1540 и a10+a11=21a_{10}+a_{11}=21a10​+a11​=21.
Задача 3
Решите неравенство log⁡x2x3−x⩽2\log _{x} \dfrac{2 x}{3-x} \leqslant 2logx​3−x2x​⩽2.
Задача 4
Решите уравнение cos⁡2x=1+32(cos⁡x+sin⁡x)\cos 2 x=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(\cos x+\sin x)cos2x=21+3​​(cosx+sinx).
Задача 5
Окружность Ω1\Omega_{1}Ω1​ с центром O1O_{1}O1​ и окружность Ω2\Omega_{2}Ω2​ с центром O2O_{2}O2​ пересекаются в точках AAA и BBB, причём ∠O1AO2=120∘\angle O_{1} A O_{2}=120^{\circ}∠O1​AO2​=120∘. Окружность, описанная около треугольника O1AO2O_{1} A O_{2}O1​AO2​ пересекает окружности Ω1\Omega_{1}Ω1​ и Ω2\Omega_{2}Ω2​ соответственно в точках CCC и DDD (отличных от точки AAA). Найдите угол ∠BDC\angle B D C∠BDC, если известно, что ∠ACB=15∘\angle A C B=15^{\circ}∠ACB=15∘.
Задача 6
Числа a,b,c,da, b, c, da,b,c,d положительны и удовлетворяют соотношению a+b+c+d=1a+b+c+d=1a+b+c+d=1. Найдите наименьшее возможное значение выражения a21−a+b21−b+c21−c+d21−d.\dfrac{a^{2}}{1-a}+\dfrac{b^{2}}{1-b}+\dfrac{c^{2}}{1-c}+\dfrac{d^{2}}{1-d}.1−aa2​+1−bb2​+1−cc2​+1−dd2​.
Задача 7
Все рёбра прямой треугольной призмы ABCA′B′C′A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}ABCA′B′C′ с основанием ABCA B CABC и боковыми рёбрами AA′,BB′,CC′A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}AA′,BB′,CC′ равны. Найдите отношение, в котором делит объём этой призмы плоскость, проходящая через вершину C′C^{\prime}C′ и через середины рёбер AB,AA′A B, A A^{\prime}AB,AA′.