ДВИ МГУ 2013, Поток 4 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Старший коэффициент квадратного трёхчлена

f(x)

равен 2. Один из его корней равен

\dfrac{5}{2}

. Найдите второй корень, если известно, что

f(0)=3

.

Задача 2МГУ

Вычислите

\log_{16}6\cdot\log_{6}8

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

15\left(4+4^{-2x}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(4^{1+2x}+1\right)^{\frac{1}{2}}\geqslant 20^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{x}{2}}.

Решение

Область определения: всё

\mathbb{R}.

Заметим, что

4+4^{-2x}=4^{-2x}\left(4^{1+2x}+1\right).

Положим

u=4^{x}>0.

Тогда

\left(4+4^{-2x}\right)^{-\frac12}=4^{x}\left(4^{1+2x}+1\right)^{-\frac12}=\dfrac{u}{\sqrt{4u^{2}+1}},\quad \left(4^{1+2x}+1\right)^{\frac12}=\sqrt{4u^{2}+1},

и неравенство принимает вид

\dfrac{15u}{\sqrt{4u^{2}+1}}-\sqrt{4u^{2}+1}\geqslant 2\sqrt{5} \sqrt{u}.

Умножим на

\sqrt{4u^{2}+1}>0:\quad 15u-\left(4u^{2}+1\right)\geqslant 2\sqrt{5} \sqrt{u} \sqrt{4u^{2}+1}.

Разделим на

u>0:\quad 15-\left(4u+\dfrac{1}{u}\right)\geqslant 2\sqrt{5} \sqrt{4u+\dfrac{1}{u}}.

Обозначим

w=4u+\dfrac{1}{u}=4^{x+1}+4^{-x}>0:\quad 15-w\geqslant 2\sqrt{5} \sqrt{w}.

Необходимо

w\leqslant 15,

возведём в квадрат:

(15-w)^{2}\geqslant 20w\iff w^{2}-50w+225\geqslant 0\iff (w-5)(w-45)\geqslant 0.

С учётом

w\leqslant 15

получаем

0<w\leqslant 5.

4^{x+1}+4^{-x}\leqslant 5.\quad \text{Пусть } y=4^{x}>0:\quad 4y+\dfrac{1}{y}\leqslant 5\iff 4y^{2}-5y+1\leqslant 0\iff (4y-1)(y-1)\leqslant 0\iff \dfrac{1}{4}\leqslant y\leqslant 1.

\dfrac{1}{4}\leqslant 4^{x}\leqslant 1\iff 4^{-1}\leqslant 4^{x}\leqslant 4^{0}\iff -1\leqslant x\leqslant 0.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\dfrac{\cos 4x}{\sin 3x}-\dfrac{\sin 4x}{\cos 3x}=\dfrac{\sin 3x}{\cos 4x}-\dfrac{\cos 3x}{\sin 4x}.

Решение

Область допустимых значений:

\sin 3x\neq 0, \cos 3x\neq 0, \sin 4x\neq 0, \cos 4x\neq 0.

Сгруппируем взаимно обратные дроби:

\left(\frac{\cos 4x}{\sin 3x}-\frac{\sin 3x}{\cos 4x}\right)-\left(\frac{\sin 4x}{\cos 3x}-\frac{\cos 3x}{\sin 4x}\right)=\frac{\cos^2 4x-\sin^2 3x}{\sin 3x\,\cos 4x}-\frac{\sin^2 4x-\cos^2 3x}{\cos 3x\,\sin 4x}=0.

Так как

\cos^2 4x-\sin^2 3x=\cos 7x \cos x

и

\sin^2 4x-\cos^2 3x=-\cos 7x \cos x,

получаем

\cos 7x\,\cos x\left(\frac{1}{\sin 3x\,\cos 4x}+\frac{1}{\cos 3x\,\sin 4x}\right)=0.

В скобке

\frac{\cos 3x \sin 4x+\sin 3x \cos 4x}{\sin 3x \cos 4x \cos 3x \sin 4x}=\frac{\sin 7x}{\sin 3x \cos 4x \cos 3x \sin 4x},

поэтому уравнение сводится к

\cos 7x\,\cos x\,\sin 7x=0\iff \tfrac12\sin 14x\,\cos x=0.

Случай

\cos x=0

невозможен (тогда

\cos 3x=0

), поэтому

\sin 14x=0,

то есть

x=\frac{k\pi}{14}.

Условия ОДЗ отбрасывают значения, кратные

\tfrac{\pi}{2},

то есть

k\in\mathbb{Z}\setminus 7\mathbb{Z}.

Задача 5МГУ

От биостанции до границы заповедника вверх по реке ровно

14

км. В

7\!:\!00

браконьеры вошли на катер в заповеднике и направились в сторону биостанции. Через некоторое время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Браконьеры тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. В

7\!:\!38

, когда браконьеры оказались ровно посередине между рыбинспекторами и границей, рыбинспекторы осознали, что они идут с браконьерами на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно на биостанцию. До биостанции они добрались ровно в тот момент, когда браконьеры выехали за пределы заповедника — в

7\!:\!50

. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры и рыбинспекторы, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Задача 6МГУ

Трапеция

KLMN

вписана в окружность радиуса

R

и описана около окружности радиуса

r

, причём

R=\dfrac{3}{2}r

. Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ

KM

равна 3.

Задача 7МГУ

В основании прямой призмы

KLMK'L'M'

лежит прямоугольный треугольник

KLM

, такой что

KM=LM=1

. На ребре

K'L'

верхнего основания (параллельном

KL

) отмечена точка

N

, так что

K'N:NL'=1:3

. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр

KLM'N

, если высота призмы равна

1

.

Решение

Обозначим объём тетраэдра

KLM'N,

его площадь поверхности и радиус вписанной сферы через

V, S, r.

Тогда

V=\tfrac{1}{3}rS.

Объём

KLM'N

равен объёму

KLMN,

так как

MM'\parallel KK',

поэтому

V=\tfrac{1}{6},

откуда

r=(2S)^{-1}.

Найдём

S.

Площади треугольников

KLN

и

KLK'

равны, а так как

KL=\sqrt{2},

то

S_{KLN}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Высота треугольника

KLM',

опущенная из

M',

равна

\sqrt{\tfrac{3}{2}},

поэтому

S_{KLM'}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Пусть

\lambda=\dfrac{K'N}{K'L'}=\dfrac{1}{4}.

Для боковых граней с вершиной

N

получаем

S_{KNM'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1},\qquad S_{LNM'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3(1-\lambda)^2-2(1-\lambda)+1}.

При

\lambda=\tfrac{1}{4}: \sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1}=\sqrt{\tfrac{11}{16}}=\tfrac{\sqrt{11}}{4},\quad \sqrt{3(1-\lambda)^2-2(1-\lambda)+1}=\sqrt{\tfrac{19}{16}}=\tfrac{\sqrt{19}}{4}.

S=S_{KLN}+S_{KLM'}+S_{KNM'}+S_{LNM'}=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\tfrac{\sqrt{11}+\sqrt{19}}{4}\right).

r=(2S)^{-1}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{19}}{4}\right)^{-1}.

Задача 8МГУ

Найдите все значения параметра

a

, при которых уравнение

,\sin\left(x+\dfrac{a}{x}\right)=x+1,

имеет бесконечно много решений.

Решение

Перепишем данное уравнение в виде системы:

\begin{cases} t=x+\dfrac{a}{x} \\ \sin t=x+1 \end{cases}

Исключая из этой системы переменную

x

, получаем ещё одно уравнение

t=\sin t-1+\dfrac{a}{\sin t-1}.

Существует взаимно однозначное соответствие между решениями этого уравнения и решениями системы. Поэтому множество решений исходного уравнения будет бесконечным тогда и только тогда, когда множество решений уравнения

t+1-\sin t=\dfrac{a}{\sin t-1}

бесконечно. Рассмотрим функцию

f(t)=t+1-\sin t.

Она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная

f'(t)=1-\cos t\ge 0

и обращается в нуль в точках вида

2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Отсюда следует, что

f(t)

монотонно возрастает на всей числовой прямой. Пусть

a=0.

Тогда уравнение принимает вид

f(t)=0.

Учитывая монотонность

f(t),

заключаем, что уравнение имеет единственное решение. Значит,

a=0

не удовлетворяет условию задачи. Пусть

a\ne 0.

На промежутках вблизи точек, где

\sin t-1\to 0,

функция

\dfrac{a}{\sin t-1}

неограниченна. Являясь суммой монотонно возрастающей и неограниченно меняющейся частей, уравнение на каждом таком промежутке имеет хотя бы одно решение. Поскольку таких промежутков бесконечно много, множество решений бесконечно, и данное уравнение имеет бесконечно много решений.