Область определения: всё R. Заметим, что 4+4−2x=4−2x(41+2x+1). Положим u=4x>0. Тогда (4+4−2x)−21=4x(41+2x+1)−21=4u2+1u,(41+2x+1)21=4u2+1, и неравенство принимает вид 4u2+115u−4u2+1⩾25u. Умножим на 4u2+1>0:15u−(4u2+1)⩾25u4u2+1. Разделим на u>0:15−(4u+u1)⩾254u+u1. Обозначим w=4u+u1=4x+1+4−x>0:15−w⩾25w. Необходимо w⩽15, возведём в квадрат: (15−w)2⩾20w⟺w2−50w+225⩾0⟺(w−5)(w−45)⩾0. С учётом w⩽15 получаем 0<w⩽5.4x+1+4−x⩽5.Пустьy=4x>0:4y+y1⩽5⟺4y2−5y+1⩽0⟺(4y−1)(y−1)⩽0⟺41⩽y⩽1.41⩽4x⩽1⟺4−1⩽4x⩽40⟺−1⩽x⩽0.
Область допустимых значений: sin3x=0,cos3x=0,sin4x=0,cos4x=0. Сгруппируем взаимно обратные дроби: (sin3xcos4x−cos4xsin3x)−(cos3xsin4x−sin4xcos3x)=sin3xcos4xcos24x−sin23x−cos3xsin4xsin24x−cos23x=0. Так как cos24x−sin23x=cos7xcosx и sin24x−cos23x=−cos7xcosx, получаем cos7xcosx(sin3xcos4x1+cos3xsin4x1)=0. В скобке sin3xcos4xcos3xsin4xcos3xsin4x+sin3xcos4x=sin3xcos4xcos3xsin4xsin7x, поэтому уравнение сводится к cos7xcosxsin7x=0⟺21sin14xcosx=0. Случай cosx=0 невозможен (тогда cos3x=0 ), поэтому sin14x=0, то есть x=14kπ. Условия ОДЗ отбрасывают значения, кратные 2π, то есть k∈Z∖7Z.
Задача 5МГУ
От биостанции до границы заповедника вверх по реке ровно 14 км. В 7:00 браконьеры вошли на катер в заповеднике и направились в сторону биостанции. Через некоторое время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Браконьеры тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. В 7:38, когда браконьеры оказались ровно посередине между рыбинспекторами и границей, рыбинспекторы осознали, что они идут с браконьерами на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно на биостанцию. До биостанции они добрались ровно в тот момент, когда браконьеры выехали за пределы заповедника — в 7:50. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры и рыбинспекторы, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.
Ответ:4км
Решение
Пусть v — собственная скорость катеров, u — скорость течения. Расстояние от биостанции до границы L=14 км. Браконьеры от границы идут вниз по течению со скоростью v+u, рыбинспекторы от биостанции — вверх со скоростью v−u. Наименьшее расстояние между катерами достигается в момент их сближения до разворота рыбинспекторов. В 7:38 (через 38 мин =3019 ч) браконьеры оказались посередине между рыбинспекторами и границей заповедника. Рыбинспекторы, развернувшись, вернулись на биостанцию к 7:50, то есть за 50 мин =65 ч от старта. Составляя уравнения движения по условиям "посередине" и "одновременного" прибытия, находим v+u=30,v−u=20 (км/ч), то есть v=25,u=5. Подставляя найденные скорости в выражение для расстояния между катерами в момент разворота, получаем искомое наименьшее расстояние, равное 4 км.
Задача 6МГУ
Трапеция KLMN вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r, причём R=23r. Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ KM равна 3.
Ответ:10−1
Решение
Трапеция вписана в окружность, значит она равнобокая. Пусть KN,LM — основания ,KL=MN=c — боковые стороны. Так как трапеция описана около окружности, KN+LM=2c. Обозначим φ=∠MKN. Опустим высоту MH на основание KN. Точки касания делят основания пополам, поэтому KH=2KN+LM=c=m,MH=2r, где m — средняя линия трапеции, равная KH.tgφ=KHMH=m2r,sinφ=2RMN=2Rm.Rr=tgφ⋅sinφ=cosφ1−cosφ.R=23r⇒Rr=32⇒cosφ1−cosφ=32.3cos2φ+2cosφ−3=0⇒cosφ=3−1+10.m=KMcosφ=3⋅3−1+10=10−1.
Задача 7МГУ
В основании прямой призмы KLMK′L′M′ лежит прямоугольный треугольник KLM, такой что KM=LM=1. На ребре K′L′ верхнего основания (параллельном KL) отмечена точка N, так что K′N:NL′=1:3. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр KLM′N, если высота призмы равна 1.
Ответ:(2+3+411+19)−1
Решение
Обозначим объём тетраэдра KLM′N, его площадь поверхности и радиус вписанной сферы через V,S,r. Тогда V=31rS. Объём KLM′N равен объёму KLMN, так как MM′∥KK′, поэтому V=61, откуда r=(2S)−1. Найдём S. Площади треугольников KLN и KLK′ равны, а так как KL=2, то SKLN=22. Высота треугольника KLM′, опущенная из M′, равна 23, поэтому SKLM′=23. Пусть λ=K′L′K′N=41. Для боковых граней с вершиной N получаем SKNM′=213λ2−2λ+1,SLNM′=213(1−λ)2−2(1−λ)+1. При λ=41:3λ2−2λ+1=1611=411,3(1−λ)2−2(1−λ)+1=1619=419.S=SKLN+SKLM′+SKNM′+SLNM′=21(2+3+411+19).r=(2S)−1=(2+3+411+19)−1.
Задача 8МГУ
Найдите все значения параметра a , при которых уравнение ,sin(x+xa)=x+1, имеет бесконечно много решений.
Ответ:a=0
Решение
Перепишем данное уравнение в виде системы: {t=x+xasint=x+1 Исключая из этой системы переменную x , получаем ещё одно уравнение t=sint−1+sint−1a. Существует взаимно однозначное соответствие между решениями этого уравнения и решениями системы. Поэтому множество решений исходного уравнения будет бесконечным тогда и только тогда, когда множество решений уравнения t+1−sint=sint−1a бесконечно. Рассмотрим функцию f(t)=t+1−sint. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная f′(t)=1−cost≥0 и обращается в нуль в точках вида 2πn,n∈Z. Отсюда следует, что f(t) монотонно возрастает на всей числовой прямой. Пусть a=0. Тогда уравнение принимает вид f(t)=0. Учитывая монотонность f(t), заключаем, что уравнение имеет единственное решение. Значит, a=0 не удовлетворяет условию задачи. Пусть a=0. На промежутках вблизи точек, где sint−1→0, функция sint−1a неограниченна. Являясь суммой монотонно возрастающей и неограниченно меняющейся частей, уравнение на каждом таком промежутке имеет хотя бы одно решение. Поскольку таких промежутков бесконечно много, множество решений бесконечно, и данное уравнение имеет бесконечно много решений.
Область определения: всё 
Трапеция вписана в окружность, значит она равнобокая. Пусть 
Обозначим объём тетраэдра