Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУ
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ДВИ МГУ по математике — 2013, Поток 3

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Резерв
Задача 1МГУ
Старший коэффициент квадратного трёхчлена f(x)f(x)f(x) равен −2-2−2. Один из его корней равен 32\dfrac{3}{2}23​. Найдите второй корень, если известно, что f(0)=1f(0)=1f(0)=1.
Ответ:−13-\dfrac{1}{3}−31​

Решение

Пусть второй корень x2.x_2.x2​. Тогда f(x)=−2(x−32)(x−x2).f(x)=-2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(x-x_2).f(x)=−2(x−23​)(x−x2​). f(0)=−2⋅(−32)⋅(−x2)=−3x2.f(0)=-2\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdot(-x_2)=-3x_2.f(0)=−2⋅(−23​)⋅(−x2​)=−3x2​. −3x2=1  ⇒  x2=−13.-3x_2=1 \;\Rightarrow\; x_2=-\dfrac{1}{3}.−3x2​=1⇒x2​=−31​.
Задача 2МГУ
Вычислите log⁡123⋅log⁡912\log_{12}3\cdot\log_{9}12log12​3⋅log9​12.
Ответ:12\dfrac{1}{2}21​

Решение

log⁡123⋅log⁡912=ln⁡3ln⁡12⋅ln⁡12ln⁡9=ln⁡3ln⁡9=ln⁡32ln⁡3=12.\log_{12}3\cdot\log_{9}12=\dfrac{\ln 3}{\ln 12}\cdot\dfrac{\ln 12}{\ln 9}=\dfrac{\ln 3}{\ln 9}=\dfrac{\ln 3}{2\ln 3}=\dfrac{1}{2}.log12​3⋅log9​12=ln12ln3​⋅ln9ln12​=ln9ln3​=2ln3ln3​=21​.
Задача 3МГУ
Решите неравенство 12(3+3−2x)−12−(31+2x+1)12⩾4⋅3x2.12\left(3+3^{-2x}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(3^{1+2x}+1\right)^{\frac{1}{2}}\geqslant 4\cdot 3^{\frac{x}{2}}.12(3+3−2x)−21​−(31+2x+1)21​⩾4⋅32x​.
Ответ:-1\leqslant x\leqslant 0

Решение

Изображение 1 Изображение 2 Область определения: всё R.\mathbb{R}.R. Заметим, что 3+3−2x=3−2x(31+2x+1).3+3^{-2x}=3^{-2x}\left(3^{1+2x}+1\right).3+3−2x=3−2x(31+2x+1). Положим u=3x>0.u=3^{x}>0.u=3x>0. Тогда (3+3−2x)−12=3x(31+2x+1)−12=u3u2+1,(31+2x+1)12=3u2+1,\left(3+3^{-2x}\right)^{-\frac12}=3^{x}\left(3^{1+2x}+1\right)^{-\frac12}=\dfrac{u}{\sqrt{3u^{2}+1}},\quad \left(3^{1+2x}+1\right)^{\frac12}=\sqrt{3u^{2}+1},(3+3−2x)−21​=3x(31+2x+1)−21​=3u2+1​u​,(31+2x+1)21​=3u2+1​, и неравенство принимает вид 12u3u2+1−3u2+1⩾4u.\dfrac{12u}{\sqrt{3u^{2}+1}}-\sqrt{3u^{2}+1}\geqslant 4\sqrt{u}.3u2+1​12u​−3u2+1​⩾4u​. Умножим на 3u2+1>0:12u−(3u2+1)⩾4u3u2+1.\sqrt{3u^{2}+1}>0:\quad 12u-\left(3u^{2}+1\right)\geqslant 4\sqrt{u} \sqrt{3u^{2}+1}.3u2+1​>0:12u−(3u2+1)⩾4u​3u2+1​. Разделим на u>0:12−(3u+1u)⩾43u+1u.u>0:\quad 12-\left(3u+\dfrac{1}{u}\right)\geqslant 4\sqrt{3u+\dfrac{1}{u}}.u>0:12−(3u+u1​)⩾43u+u1​​. Обозначим w=3u+1u=3x+1+3−x>0:12−w⩾4w.w=3u+\dfrac{1}{u}=3^{x+1}+3^{-x}>0:\quad 12-w\geqslant 4\sqrt{w}.w=3u+u1​=3x+1+3−x>0:12−w⩾4w​. Необходимо w⩽12,w\leqslant 12,w⩽12, возведём в квадрат: (12−w)2⩾16w  ⟺  w2−40w+144⩾0  ⟺  (w−4)(w−36)⩾0.(12-w)^{2}\geqslant 16w\iff w^{2}-40w+144\geqslant 0\iff (w-4)(w-36)\geqslant 0.(12−w)2⩾16w⟺w2−40w+144⩾0⟺(w−4)(w−36)⩾0. С учётом w⩽12w\leqslant 12w⩽12 получаем 0<w⩽4.0<w\leqslant 4.0<w⩽4. 3x+1+3−x⩽4.Пусть y=3x>0:3y+1y⩽4  ⟺  3y2−4y+1⩽0  ⟺  (3y−1)(y−1)⩽0  ⟺  13⩽y⩽1.3^{x+1}+3^{-x}\leqslant 4.\quad \text{Пусть } y=3^{x}>0:\quad 3y+\dfrac{1}{y}\leqslant 4\iff 3y^{2}-4y+1\leqslant 0\iff (3y-1)(y-1)\leqslant 0\iff \dfrac{1}{3}\leqslant y\leqslant 1.3x+1+3−x⩽4.Пусть y=3x>0:3y+y1​⩽4⟺3y2−4y+1⩽0⟺(3y−1)(y−1)⩽0⟺31​⩽y⩽1. 13⩽3x⩽1  ⟺  3−1⩽3x⩽30  ⟺  −1⩽x⩽0.\dfrac{1}{3}\leqslant 3^{x}\leqslant 1\iff 3^{-1}\leqslant 3^{x}\leqslant 3^{0}\iff -1\leqslant x\leqslant 0.31​⩽3x⩽1⟺3−1⩽3x⩽30⟺−1⩽x⩽0.
Задача 4МГУ
Решите уравнение sin⁡3xsin⁡x+cos⁡3xcos⁡x=sin⁡xsin⁡3x+cos⁡xcos⁡3x.\dfrac{\sin 3x}{\sin x}+\dfrac{\cos 3x}{\cos x}=\dfrac{\sin x}{\sin 3x}+\dfrac{\cos x}{\cos 3x}.sinxsin3x​+cosxcos3x​=sin3xsinx​+cos3xcosx​.
Ответ:x=kπ8,k∈Z∖4Zx=\dfrac{k\pi}{8},\quad k\in\mathbb{Z}\setminus 4\mathbb{Z}x=8kπ​,k∈Z∖4Z

Решение

Область допустимых значений: sin⁡x≠0,cos⁡x≠0,sin⁡3x≠0,cos⁡3x≠0.\sin x\neq 0, \cos x\neq 0, \sin 3x\neq 0, \cos 3x\neq 0.sinx=0,cosx=0,sin3x=0,cos3x=0. Сгруппируем взаимно обратные дроби: (sin⁡3xsin⁡x−sin⁡xsin⁡3x)+(cos⁡3xcos⁡x−cos⁡xcos⁡3x)=sin⁡23x−sin⁡2xsin⁡x sin⁡3x+cos⁡23x−cos⁡2xcos⁡x cos⁡3x=0.\left(\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin 3x}\right)+\left(\frac{\cos 3x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos 3x}\right)=\frac{\sin^2 3x-\sin^2 x}{\sin x\,\sin 3x}+\frac{\cos^2 3x-\cos^2 x}{\cos x\,\cos 3x}=0.(sinxsin3x​−sin3xsinx​)+(cosxcos3x​−cos3xcosx​)=sinxsin3xsin23x−sin2x​+cosxcos3xcos23x−cos2x​=0. Так как sin⁡23x−sin⁡2x=sin⁡4xsin⁡2x\sin^2 3x-\sin^2 x=\sin 4x \sin 2xsin23x−sin2x=sin4xsin2x и cos⁡23x−cos⁡2x=−sin⁡4xsin⁡2x,\cos^2 3x-\cos^2 x=-\sin 4x \sin 2x,cos23x−cos2x=−sin4xsin2x, получаем sin⁡4x sin⁡2x(1sin⁡x sin⁡3x−1cos⁡x cos⁡3x)=0.\sin 4x\,\sin 2x\left(\frac{1}{\sin x\,\sin 3x}-\frac{1}{\cos x\,\cos 3x}\right)=0.sin4xsin2x(sinxsin3x1​−cosxcos3x1​)=0. В скобке cos⁡xcos⁡3x−sin⁡xsin⁡3xsin⁡xsin⁡3xcos⁡xcos⁡3x=cos⁡4xsin⁡xsin⁡3xcos⁡xcos⁡3x,\frac{\cos x \cos 3x-\sin x \sin 3x}{\sin x \sin 3x \cos x \cos 3x}=\frac{\cos 4x}{\sin x \sin 3x \cos x \cos 3x},sinxsin3xcosxcos3xcosxcos3x−sinxsin3x​=sinxsin3xcosxcos3xcos4x​, поэтому уравнение сводится к sin⁡4x sin⁡2x cos⁡4x=0  ⟺  12sin⁡2x sin⁡8x=0.\sin 4x\,\sin 2x\,\cos 4x=0\iff \tfrac12\sin 2x\,\sin 8x=0.sin4xsin2xcos4x=0⟺21​sin2xsin8x=0. Отсюда sin⁡8x=0\sin 8x=0sin8x=0 или sin⁡2x=0;\sin 2x=0;sin2x=0; объединяя, x=kπ8.x=\frac{k\pi}{8}.x=8kπ​. Условия ОДЗ отбрасывают значения, кратные π2,\tfrac{\pi}{2},2π​, то есть k∈Z∖4Z.k\in\mathbb{Z}\setminus 4\mathbb{Z}.k∈Z∖4Z.
Задача 5МГУ
В 14 ⁣: ⁣0014\!:\!0014:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть 500500500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелым», развернулся и пошёл обратно к Верхнему. В 14 ⁣: ⁣1414\!:\!1414:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», на «Смелом» осознали, что они идут с «Быстрым» на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14 ⁣: ⁣1814\!:\!1814:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.
Ответ:2 км2\text{ км}2 км

Решение

В момент выхода "Смелого" из Нижнего расстояние между катерами составляло 500500500 м. Так как против течения катера двигались с постоянной скоростью, то и в момент, когда "Смелый", развернувшись, двинулся назад к Нижнему, расстояние между "Смелым" и "Быстрым" составляло 500500500 м. По условию в этот момент расстояние по реке от "Быстрого" до Верхнего также составляло 500500500 м. "Быстрый" проплыл 500500500 м против течения за 444 мин, поэтому его скорость относительно берега при движении против течения равна 5004=125\dfrac{500}{4}=1254500​=125 м/мин. Пусть SSS — расстояние между Верхним и Нижним (м), vvv — собственная скорость (м/мин), v>125.v>125.v>125. В момент разворота "Смелого" расстояние по реке от него до Нижнего равнялось S−1000;S-1000;S−1000; "Смелый" проплыл этот путь по течению за 444 мин, поэтому S−1000=4v,S-1000=4v,S−1000=4v, то есть S=4v+1000.S=4v+1000.S=4v+1000. "Быстрый" до разворота проплыл S−500S-500S−500 м, затратив на весь путь 181818 мин: S−500125+S−500v=18.\dfrac{S-500}{125}+\dfrac{S-500}{v}=18.125S−500​+vS−500​=18. Подставляя 1000+4v1000+4v1000+4v вместо SSS и обозначая x=v125,x=\dfrac{v}{125},x=125v​, приходим к уравнению 2x+2x=5.2x+\dfrac{2}{x}=5.2x+x2​=5. Корни x1=2,x2=12.x_1=2, x_2=\tfrac12.x1​=2,x2​=21​. Так как x>1,x>1,x>1, получаем x=2,v=250,S=2000.x=2, v=250, S=2000.x=2,v=250,S=2000.
Задача 6МГУ
Трапеция ABCDABCDABCD вписана в окружность радиуса RRR и описана около окружности радиуса rrr, причём R=2rR=2rR=2r. Найдите среднюю линию трапеции, если диагональ ACACAC равна 4.
Ответ:17−1\sqrt{17}-117​−1

Решение

Изображение 1 Трапеция вписана в окружность, значит она равнобокая. Пусть AD,BCAD, BCAD,BC — основания ,AB=CD=c, AB=CD=c,AB=CD=c — боковые стороны. Так как трапеция описана около окружности, AD+BC=2c.AD+BC=2c.AD+BC=2c. Обозначим φ=∠CAD.\varphi=\angle CAD.φ=∠CAD. Опустим высоту CHCHCH на основание AD.AD.AD. Точки касания делят основания пополам, поэтому AH=AD+BC2=c=m,CH=2r,AH=\dfrac{AD+BC}{2}=c=m,\quad CH=2r,AH=2AD+BC​=c=m,CH=2r, где mmm — средняя линия трапеции, равная AH.AH.AH. tg⁡φ=CHAH=2rm,sin⁡φ=CD2R=m2R.\tg\varphi=\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{2r}{m}, \qquad \sin\varphi=\dfrac{CD}{2R}=\dfrac{m}{2R}.tgφ=AHCH​=m2r​,sinφ=2RCD​=2Rm​. rR=tg⁡φ⋅sin⁡φ=sin⁡2φcos⁡φ=1cos⁡φ−cos⁡φ.\dfrac{r}{R}=\tg\varphi\cdot\sin\varphi=\dfrac{\sin^2\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi.Rr​=tgφ⋅sinφ=cosφsin2φ​=cosφ1​−cosφ. R=2r  ⇒  rR=12  ⇒  1cos⁡φ−cos⁡φ=12.R=2r\;\Rightarrow\;\dfrac{r}{R}=\dfrac12\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi=\dfrac12.R=2r⇒Rr​=21​⇒cosφ1​−cosφ=21​. 2cos⁡2φ+cos⁡φ−2=0  ⇒  cos⁡φ=−1+174.2\cos^2\varphi+\cos\varphi-2=0\;\Rightarrow\;\cos\varphi=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}.2cos2φ+cosφ−2=0⇒cosφ=4−1+17​​. m=ACcos⁡φ=4⋅−1+174=17−1.m=AC\cos\varphi=4\cdot\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}=\sqrt{17}-1.m=ACcosφ=4⋅4−1+17​​=17​−1.
Задача 7МГУ
В основании прямой призмы KLMK′L′M′KLMK'L'M'KLMK′L′M′ лежит прямоугольный треугольник KLMKLMKLM, такой что KM=LM=1KM=LM=1KM=LM=1. На ребре K′M′K'M'K′M′ верхнего основания (параллельном KMKMKM) отмечена точка NNN, так что K′N:NM′=3:1K'N:NM'=3:1K′N:NM′=3:1. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр KL′MNKL'MNKL′MN, если высота призмы равна 111.
Ответ:(2+3+11+194)−1\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{19}}{4}\right)^{-1}(2​+3​+411​+19​​)−1

Решение

Изображение 1 Обозначим объём тетраэдра KL′MN,KL'MN,KL′MN, его площадь поверхности и радиус вписанной сферы через V,S,r.V, S, r.V,S,r. Тогда V=13rS.V=\tfrac{1}{3}rS.V=31​rS. Объём KL′MNKL'MNKL′MN равен объёму KLMN,KLMN,KLMN, так как MM′∥KK′,MM'\parallel KK',MM′∥KK′, поэтому V=16,V=\tfrac{1}{6},V=61​, откуда r=(2S)−1.r=(2S)^{-1}.r=(2S)−1. Найдём S.S.S. Гипотенуза основания KL=2.KL=\sqrt{2}.KL=2​. Площади граней с ребром-гипотенузой: SKMN=22,SKML′=32.S_{KMN}=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad S_{KML'}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.SKMN​=22​​,SKML′​=23​​. Обозначим λ=K′NK′M′=34.\lambda=\dfrac{K'N}{K'M'}=\dfrac{3}{4}.λ=K′M′K′N​=43​. Для боковых граней с вершиной NNN получаем SKNL′=123λ2−2λ+1,SMNL′=123(1−λ)2−2(1−λ)+1.S_{KNL'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1},\qquad S_{MNL'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3(1-\lambda)^2-2(1-\lambda)+1}.SKNL′​=21​3λ2−2λ+1​,SMNL′​=21​3(1−λ)2−2(1−λ)+1​. При λ=34:3λ2−2λ+1=1916=194,3(1−λ)2−2(1−λ)+1=1116=114.\lambda=\tfrac{3}{4}: \sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1}=\sqrt{\tfrac{19}{16}}=\tfrac{\sqrt{19}}{4},\quad \sqrt{3(1-\lambda)^2-2(1-\lambda)+1}=\sqrt{\tfrac{11}{16}}=\tfrac{\sqrt{11}}{4}.λ=43​:3λ2−2λ+1​=1619​​=419​​,3(1−λ)2−2(1−λ)+1​=1611​​=411​​. S=SKMN+SKML′+SKNL′+SMNL′=12(2+3+11+194).S=S_{KMN}+S_{KML'}+S_{KNL'}+S_{MNL'}=\tfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\tfrac{\sqrt{11}+\sqrt{19}}{4}\right).S=SKMN​+SKML′​+SKNL′​+SMNL′​=21​(2​+3​+411​+19​​). r=(2S)−1=(2+3+11+194)−1.r=(2S)^{-1}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{19}}{4}\right)^{-1}.r=(2S)−1=(2​+3​+411​+19​​)−1.
Задача 8МГУ
Найдите все значения параметра aaa , при которых уравнение ,cos⁡(x−ax)=x−1,,\cos\left(x-\dfrac{a}{x}\right)=x-1,,cos(x−xa​)=x−1, имеет бесконечно много решений.
Ответ:a≠0a\ne 0a=0

Решение

Перепишем уравнение в виде системы: {t=x−axcos⁡t=x−1\begin{cases} t=x-\dfrac{a}{x} \\ \cos t=x-1 \end{cases}{t=x−xa​cost=x−1​ Исключая xxx , получаем t=cos⁡t+1−acos⁡t+1.t=\cos t+1-\dfrac{a}{\cos t+1}.t=cost+1−cost+1a​. Множество решений исходного уравнения бесконечно тогда и только тогда, когда бесконечно множество решений уравнения (t−cos⁡t−1)(cos⁡t+1)=−a.(t-\cos t-1)(\cos t+1)=-a.(t−cost−1)(cost+1)=−a. Функция f(t)=t−cos⁡t−1f(t)=t-\cos t-1f(t)=t−cost−1 монотонно возрастает (f′(t)=1+sin⁡t≥0).(f'(t)=1+\sin t\ge 0).(f′(t)=1+sint≥0). При a=0a=0a=0 получаем t=cos⁡t+1,t=\cos t+1,t=cost+1, что в силу монотонности даёт единственное решение, поэтому a=0a=0a=0 не подходит. При a≠0a\ne 0a=0 вблизи точек cos⁡t+1→0\cos t+1\to 0cost+1→0 слагаемое acos⁡t+1\dfrac{a}{\cos t+1}cost+1a​ неограниченно, и уравнение имеет бесконечно много корней.