ДВИ МГУ 2013, Поток 1 — вариант с решениями

Задача 1МГУ

Старший коэффициент квадратного трёхчлена

f(x)

равен 2. Один из его корней равен

\dfrac{5}{2}

. Найдите второй корень, если известно, что

f(0)=3

.

Задача 2МГУ

Вычислите

\log_{5}27\cdot\log_{9}5

.

Задача 3МГУ

Решите неравенство

12\left(3+3^{-2x}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(3^{1+2x}+1\right)^{\frac{1}{2}}\geqslant 4\cdot 3^{\frac{x}{2}}.

Решение

Область определения: всё

\mathbb{R}

(подкоренные выражения положительны). Заметим, что

3+3^{-2x}=3^{-2x}\left(3^{1+2x}+1\right).

Положим

u=3^{x}>0.

Тогда

\left(3+3^{-2x}\right)^{-\frac12}=3^{x}\left(3^{1+2x}+1\right)^{-\frac12}=\dfrac{u}{\sqrt{3u^{2}+1}},\quad \left(3^{1+2x}+1\right)^{\frac12}=\sqrt{3u^{2}+1},

и неравенство принимает вид

\dfrac{12u}{\sqrt{3u^{2}+1}}-\sqrt{3u^{2}+1}\geqslant 4\sqrt{u}.

Умножим на

\sqrt{3u^{2}+1}>0:\quad 12u-\left(3u^{2}+1\right)\geqslant 4\sqrt{u} \sqrt{3u^{2}+1}.

Разделим на

u>0

(учитывая

\sqrt{u}\dfrac{\sqrt{3u^{2}+1}}{u}=\sqrt{3u+\tfrac1u} ):\quad 12-\left(3u+\dfrac{1}{u}\right)\geqslant 4\sqrt{3u+\dfrac{1}{u}}.

Обозначим

w=3u+\dfrac{1}{u}=3^{x+1}+3^{-x}>0:\quad 12-w\geqslant 4\sqrt{w}.

Необходимо

w\leqslant 12,

возведём в квадрат:

(12-w)^{2}\geqslant 16w\iff w^{2}-40w+144\geqslant 0\iff (w-4)(w-36)\geqslant 0.

С учётом

w\leqslant 12

получаем

0<w\leqslant 4.

3^{x+1}+3^{-x}\leqslant 4.\quad \text{Пусть } y=3^{x}>0:\quad 3y+\dfrac{1}{y}\leqslant 4\iff 3y^{2}-4y+1\leqslant 0\iff (3y-1)(y-1)\leqslant 0\iff \dfrac{1}{3}\leqslant y\leqslant 1.

\dfrac{1}{3}\leqslant 3^{x}\leqslant 1\iff 3^{-1}\leqslant 3^{x}\leqslant 3^{0}\iff -1\leqslant x\leqslant 0.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\dfrac{\sin 5x}{\sin x}-\dfrac{\cos 5x}{\cos x}=\dfrac{\sin x}{\sin 5x}-\dfrac{\cos x}{\cos 5x}.

Решение

Область допустимых значений:

\sin x\neq 0, \cos x\neq 0, \sin 5x\neq 0, \cos 5x\neq 0.

Сгруппируем взаимно обратные дроби:

\left(\frac{\sin 5x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\sin 5x}\right)-\left(\frac{\cos 5x}{\cos x}-\frac{\cos x}{\cos 5x}\right)=\frac{\sin^2 5x-\sin^2 x}{\sin x\,\sin 5x}-\frac{\cos^2 5x-\cos^2 x}{\cos x\,\cos 5x}=0.

Так как

\sin^2 5x-\sin^2 x=\sin 6x \sin 4x

и

\cos^2 5x-\cos^2 x=-\sin 6x \sin 4x,

получаем

\sin 6x\,\sin 4x\left(\frac{1}{\sin x\,\sin 5x}+\frac{1}{\cos x\,\cos 5x}\right)=0.

В скобке

\frac{\cos x \cos 5x+\sin x \sin 5x}{\sin x \sin 5x \cos x \cos 5x}=\frac{\cos 4x}{\sin x \sin 5x \cos x \cos 5x},

поэтому уравнение сводится к

\sin 6x\,\sin 4x\,\cos 4x=0\iff \tfrac12\sin 6x\,\sin 8x=0.

Отсюда

\sin 8x=0

или

\sin 6x=0,

то есть

x=\frac{k\pi}{8}

или

x=\frac{n\pi}{6}.

Условия ОДЗ отбрасывают значения, кратные

\tfrac{\pi}{2}:

из первой серии

k\in\mathbb{Z}\setminus 4\mathbb{Z},

из второй

n\in\mathbb{Z}\setminus 3\mathbb{Z}.

Задача 5МГУ

В

14\!:\!00

из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть

500

метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелым», развернулся и пошёл обратно к Верхнему. В

14\!:\!14

, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», на «Смелом» осознали, что они идут с «Быстрым» на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись одновременно в

14\!:\!18

. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Решение

В момент выхода "Смелого" из Нижнего расстояние между катерами составляло

500

м. Так как против течения катера двигались с постоянной скоростью, то и в момент, когда "Смелый", развернувшись, двинулся назад к Нижнему, расстояние между "Смелым" и "Быстрым" составляло

500

м. По условию в этот момент расстояние по реке от "Быстрого" до Верхнего также составляло

500

м. "Быстрый" проплыл

500

м против течения за

14 : 14-14 : 10=4

мин (момент его разворота —

14 : 10

). Скорость "Быстрого" относительно берега против течения:

v_{\text{пр}}=\dfrac{500}{4}=125

м/мин. Пусть

S

— расстояние между Верхним и Нижним (в метрах),

v

— собственная скорость катеров (м/мин),

v>125.

В момент разворота "Смелого" расстояние по реке от него до Нижнего равнялось

S-1000.

"Смелый" проплыл этот путь по течению за

4

мин, поэтому

S-1000=4v,

то есть

S=4v+1000.

"Быстрый" до разворота проплыл

S-500

м, затратив на весь путь

18

мин:

\dfrac{S-500}{125}+\dfrac{S-500}{v}=18.

Подставляя

S=4v+1000

и обозначая

x=\dfrac{v}{125},

приходим к уравнению

2x+\dfrac{2}{x}=5.

Корни

x_1=2, x_2=\tfrac12.

Так как

x>1,

берём

x=2,

откуда

v=250

и

S=2000.

Искомое расстояние равно

2

км.

Задача 6МГУ

Трапеция

KLMN

вписана в окружность радиуса

R

и описана около окружности радиуса

r

. Найдите

r

, если

R=20

, а косинус угла между диагональю

KM

и основанием

KN

равен

\dfrac{4}{5}

.

Задача 7МГУ

В основании прямой призмы

ABCA'B'C'

лежит прямоугольный треугольник

ABC

, такой что

AC=BC=1

. На ребре

A'C'

верхнего основания (параллельном

AC

) отмечена точка

D

, так что

A'D:DC'=2:1

. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр

AB'CD

, если высота призмы равна

1

.

Задача 8МГУ

Найдите все значения параметра

a

, при которых уравнение

,\cos\left(x+a\ln|x|\right)=x-1,

имеет бесконечно много решений.