ДВИ МГУ по математике — 2013, Поток 2

Задача 1МГУ

Старший коэффициент квадратного трёхчлена

f(x)

равен

-3

. Один из его корней равен

\dfrac{7}{3}

. Найдите второй корень, если известно, что

f(0)=4

Задача 2МГУ

Вычислите

\log_{8}10\cdot\log_{10}4

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\dfrac{9}{2}\left(1+2^{1-2x}\right)^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}\left(2^{2x}+2\right)^{\frac{1}{2}}\geqslant 3^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{x}{2}}.

Решение

Область определения: всё

\mathbb{R}.

Заметим, что

1+2^{1-2x}=2^{-2x}\left(2^{2x}+2\right).

Положим

u=2^{x}>0.

Тогда

\left(1+2^{1-2x}\right)^{-\frac12}=2^{x}\left(2^{2x}+2\right)^{-\frac12}=\dfrac{u}{\sqrt{u^{2}+2}},\quad \left(2^{2x}+2\right)^{\frac12}=\sqrt{u^{2}+2},

и неравенство принимает вид

\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{u}{\sqrt{u^{2}+2}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{u^{2}+2}\geqslant \sqrt{3} \sqrt{u}.

Умножим на

2\sqrt{u^{2}+2}>0:\quad 9u-\left(u^{2}+2\right)\geqslant 2\sqrt{3} \sqrt{u} \sqrt{u^{2}+2}.

Разделим на

u>0:\quad 9-\left(u+\dfrac{2}{u}\right)\geqslant 2\sqrt{3} \sqrt{u+\dfrac{2}{u}}.

Обозначим

w=u+\dfrac{2}{u}=2^{x}+2^{1-x}>0:\quad 9-w\geqslant 2\sqrt{3} \sqrt{w}.

Необходимо

w\leqslant 9,

возведём в квадрат:

(9-w)^{2}\geqslant 12w\iff w^{2}-30w+81\geqslant 0\iff (w-3)(w-27)\geqslant 0.

С учётом

w\leqslant 9

получаем

0<w\leqslant 3.

2^{x}+2^{1-x}\leqslant 3.\quad \text{Пусть } y=2^{x}>0:\quad y+\dfrac{2}{y}\leqslant 3\iff y^{2}-3y+2\leqslant 0\iff (y-1)(y-2)\leqslant 0\iff 1\leqslant y\leqslant 2.

1\leqslant 2^{x}\leqslant 2\iff 2^{0}\leqslant 2^{x}\leqslant 2^{1}\iff 0\leqslant x\leqslant 1.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\dfrac{\cos 3x}{\sin 2x}+\dfrac{\sin 3x}{\cos 2x}=\dfrac{\sin 2x}{\cos 3x}+\dfrac{\cos 2x}{\sin 3x}.

Решение

Область допустимых значений:

\sin 2x\neq 0, \cos 2x\neq 0, \sin 3x\neq 0, \cos 3x\neq 0.

Сгруппируем взаимно обратные дроби:

\left(\frac{\cos 3x}{\sin 2x}-\frac{\sin 2x}{\cos 3x}\right)+\left(\frac{\sin 3x}{\cos 2x}-\frac{\cos 2x}{\sin 3x}\right)=\frac{\cos^2 3x-\sin^2 2x}{\sin 2x\,\cos 3x}+\frac{\sin^2 3x-\cos^2 2x}{\cos 2x\,\sin 3x}=0.

Так как

\cos^2 3x-\sin^2 2x=\cos 5x \cos x

\sin^2 3x-\cos^2 2x=-\cos 5x \cos x,

получаем

\cos 5x\,\cos x\left(\frac{1}{\sin 2x\,\cos 3x}-\frac{1}{\cos 2x\,\sin 3x}\right)=0.

В скобке

\frac{\cos 2x \sin 3x-\sin 2x \cos 3x}{\sin 2x \cos 3x \cos 2x \sin 3x}=\frac{\sin x}{\sin 2x \cos 3x \cos 2x \sin 3x},

поэтому уравнение сводится к

\cos 5x\,\cos x\,\sin x=0\iff \tfrac12\cos 5x\,\sin 2x=0.

Так как

\sin 2x\neq 0,

остаётся

\cos 5x=0,

то есть

5x=\frac{\pi}{2}+\pi k,

откуда

x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}=\frac{(2k+1)\pi}{10}.

Условия ОДЗ требуют исключить значения, кратные

\tfrac{\pi}{2},

что даёт окончательно

Задача 5МГУ

От биостанции до границы заповедника вниз по реке ровно

8

км. В

8\!:\!00

браконьеры вошли на катер в заповеднике и направились в сторону биостанции. В это же время им навстречу с биостанции вышел катер с рыбинспекторами. Через

6

минут, когда рыбинспекторы были ровно посередине между биостанцией и браконьерами, браконьеры заметили катер рыбинспекции, тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. Когда браконьеры достигли границы, рыбинспекторы с чувством выполненного долга развернулись и отправились обратно на биостанцию, куда прибыли в

8\!:\!25

. Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры от рыбинспекторов, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Решение

Пусть

v

— собственная скорость катеров,

u

— скорость течения реки. Расстояние от биостанции до границы

L=8

км. Браконьеры идут вверх по реке (против течения) со скоростью

v-u,

рыбинспекторы — вниз со скоростью

v+u.

За первые

6

мин

=\tfrac{1}{10}

ч рыбинспекторы прошли

\tfrac{v+u}{10},

а браконьеры —

\tfrac{v-u}{10}.

В этот момент рыбинспекторы оказались посередине между биостанцией и браконьерами, значит

2\cdot\dfrac{v+u}{10}=8-\dfrac{v-u}{10}.

Отсюда

2(v+u)=80-(v-u),

то есть

3v+u=80.

После разворота браконьеры идут вниз по течению со скоростью

v+u

и доходят до границы

(8

км от биостанции). Рыбинспекторы дойдя до границы разворачиваются и возвращаются на биостанцию, прибыв в

8 : 25,

то есть через

25

мин

=\tfrac{5}{12}

ч. Весь путь рыбинспекторов: вниз до точки разворота и обратно вверх; решая систему, получаем

v+u=30, v-u=20

(км/ч), то есть

v=25, u=5.

Наименьшее расстояние между катерами достигается в момент разворота браконьеров. К моменту разворота браконьеры прошли вверх

\tfrac{v-u}{10}\cdot t,

и расстояние между катерами оказывается равным

3

км.

Задача 6МГУ

Трапеция

KLMN

вписана в окружность радиуса

R

и описана около окружности радиуса

r

. Найдите

r

, если

R=20

, а косинус угла между диагональю

KM

и основанием

KN

равен

\dfrac{4}{5}

Задача 7МГУ

В основании прямой призмы

ABCA'B'C'

лежит прямоугольный треугольник

ABC

, такой что

AC=BC=1

. На ребре

A'B'

верхнего основания (параллельном

AB

) отмечена точка

D

, так что

A'D:DB'=1:2

. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр

ABC'D

, если высота призмы равна

1

Решение

Обозначим объём тетраэдра

ABC'D,

его площадь поверхности и радиус вписанной сферы через

V, S, r.

Тогда

V=\tfrac{1}{3}rS.

Объём

ABC'D

равен объёму

ABCD,

так как

CC'\parallel AA',

поэтому

V=\tfrac{1}{6},

откуда

r=(2S)^{-1}.

Найдём

S.

Площади треугольников

ABD

ABA'

равны, а так как

AB=\sqrt{2},

то

S_{ABD}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Высота треугольника

ABC',

опущенная из

C',

равна

\sqrt{\tfrac{3}{2}},

поэтому

S_{ABC'}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Пусть

\lambda=\dfrac{A'D}{A'B'}=\dfrac{1}{3}.

Косинус угла между нормалью к

ADC'

и прямой

AA'

равен

\cos\varphi=\dfrac{\lambda}{\sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1}},\qquad S_{ADC'}=\dfrac{\lambda}{2\cos\varphi}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1}.

Площадь

S_{BDC'}

получается заменой

\lambda

на

1-\lambda: S_{BDC'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3(1-\lambda)^2-2(1-\lambda)+1}.

При

\lambda=\tfrac{1}{3}: S_{ADC'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}},\quad S_{BDC'}=\tfrac{1}{2}.

S=S_{ABD}+S_{ABC'}+S_{ADC'}+S_{BDC'}=\tfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).

r=(2S)^{-1}=\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)^{-1}.

Задача 8МГУ

Найдите все значения параметра

a

, при которых уравнение

,\sin\left(x-a\ln|x|\right)=x+1,

имеет бесконечно много решений.

Задача 1МГУ

Старший коэффициент квадратного трёхчлена

f(x)

равен

-3

. Один из его корней равен

\dfrac{7}{3}

. Найдите второй корень, если известно, что

f(0)=4

Задача 2МГУ

Вычислите

\log_{8}10\cdot\log_{10}4

Задача 3МГУ

Решите неравенство

\dfrac{9}{2}\left(1+2^{1-2x}\right)^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}\left(2^{2x}+2\right)^{\frac{1}{2}}\geqslant 3^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{x}{2}}.

Решение

Область определения: всё

\mathbb{R}.

Заметим, что

1+2^{1-2x}=2^{-2x}\left(2^{2x}+2\right).

Положим

u=2^{x}>0.

Тогда

\left(1+2^{1-2x}\right)^{-\frac12}=2^{x}\left(2^{2x}+2\right)^{-\frac12}=\dfrac{u}{\sqrt{u^{2}+2}},\quad \left(2^{2x}+2\right)^{\frac12}=\sqrt{u^{2}+2},

и неравенство принимает вид

\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{u}{\sqrt{u^{2}+2}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{u^{2}+2}\geqslant \sqrt{3} \sqrt{u}.

Умножим на

2\sqrt{u^{2}+2}>0:\quad 9u-\left(u^{2}+2\right)\geqslant 2\sqrt{3} \sqrt{u} \sqrt{u^{2}+2}.

Разделим на

u>0:\quad 9-\left(u+\dfrac{2}{u}\right)\geqslant 2\sqrt{3} \sqrt{u+\dfrac{2}{u}}.

Обозначим

w=u+\dfrac{2}{u}=2^{x}+2^{1-x}>0:\quad 9-w\geqslant 2\sqrt{3} \sqrt{w}.

Необходимо

w\leqslant 9,

возведём в квадрат:

(9-w)^{2}\geqslant 12w\iff w^{2}-30w+81\geqslant 0\iff (w-3)(w-27)\geqslant 0.

С учётом

w\leqslant 9

получаем

0<w\leqslant 3.

2^{x}+2^{1-x}\leqslant 3.\quad \text{Пусть } y=2^{x}>0:\quad y+\dfrac{2}{y}\leqslant 3\iff y^{2}-3y+2\leqslant 0\iff (y-1)(y-2)\leqslant 0\iff 1\leqslant y\leqslant 2.

1\leqslant 2^{x}\leqslant 2\iff 2^{0}\leqslant 2^{x}\leqslant 2^{1}\iff 0\leqslant x\leqslant 1.

Задача 4МГУ

Решите уравнение

\dfrac{\cos 3x}{\sin 2x}+\dfrac{\sin 3x}{\cos 2x}=\dfrac{\sin 2x}{\cos 3x}+\dfrac{\cos 2x}{\sin 3x}.

Решение

Область допустимых значений:

\sin 2x\neq 0, \cos 2x\neq 0, \sin 3x\neq 0, \cos 3x\neq 0.

Сгруппируем взаимно обратные дроби:

\left(\frac{\cos 3x}{\sin 2x}-\frac{\sin 2x}{\cos 3x}\right)+\left(\frac{\sin 3x}{\cos 2x}-\frac{\cos 2x}{\sin 3x}\right)=\frac{\cos^2 3x-\sin^2 2x}{\sin 2x\,\cos 3x}+\frac{\sin^2 3x-\cos^2 2x}{\cos 2x\,\sin 3x}=0.

Так как

\cos^2 3x-\sin^2 2x=\cos 5x \cos x

\sin^2 3x-\cos^2 2x=-\cos 5x \cos x,

получаем

\cos 5x\,\cos x\left(\frac{1}{\sin 2x\,\cos 3x}-\frac{1}{\cos 2x\,\sin 3x}\right)=0.

В скобке

\frac{\cos 2x \sin 3x-\sin 2x \cos 3x}{\sin 2x \cos 3x \cos 2x \sin 3x}=\frac{\sin x}{\sin 2x \cos 3x \cos 2x \sin 3x},

поэтому уравнение сводится к

\cos 5x\,\cos x\,\sin x=0\iff \tfrac12\cos 5x\,\sin 2x=0.

Так как

\sin 2x\neq 0,

остаётся

\cos 5x=0,

то есть

5x=\frac{\pi}{2}+\pi k,

откуда

x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}=\frac{(2k+1)\pi}{10}.

Условия ОДЗ требуют исключить значения, кратные

\tfrac{\pi}{2},

что даёт окончательно

Задача 5МГУ

От биостанции до границы заповедника вниз по реке ровно

8

км. В

8\!:\!00

6

8\!:\!25

Решение

Пусть

v

— собственная скорость катеров,

u

— скорость течения реки. Расстояние от биостанции до границы

L=8

км. Браконьеры идут вверх по реке (против течения) со скоростью

v-u,

рыбинспекторы — вниз со скоростью

v+u.

За первые

6

мин

=\tfrac{1}{10}

ч рыбинспекторы прошли

\tfrac{v+u}{10},

а браконьеры —

\tfrac{v-u}{10}.

В этот момент рыбинспекторы оказались посередине между биостанцией и браконьерами, значит

2\cdot\dfrac{v+u}{10}=8-\dfrac{v-u}{10}.

Отсюда

2(v+u)=80-(v-u),

то есть

3v+u=80.

После разворота браконьеры идут вниз по течению со скоростью

v+u

и доходят до границы

(8

км от биостанции). Рыбинспекторы дойдя до границы разворачиваются и возвращаются на биостанцию, прибыв в

8 : 25,

то есть через

25

мин

=\tfrac{5}{12}

ч. Весь путь рыбинспекторов: вниз до точки разворота и обратно вверх; решая систему, получаем

v+u=30, v-u=20

(км/ч), то есть

v=25, u=5.

\tfrac{v-u}{10}\cdot t,

и расстояние между катерами оказывается равным

3

км.

Задача 6МГУ

Трапеция

KLMN

вписана в окружность радиуса

R

и описана около окружности радиуса

r

. Найдите

r

, если

R=20

, а косинус угла между диагональю

KM

и основанием

KN

равен

\dfrac{4}{5}

Задача 7МГУ

В основании прямой призмы

ABCA'B'C'

лежит прямоугольный треугольник

ABC

, такой что

AC=BC=1

. На ребре

A'B'

верхнего основания (параллельном

AB

) отмечена точка

D

, так что

A'D:DB'=1:2

. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр

ABC'D

, если высота призмы равна

1

Решение

Обозначим объём тетраэдра

ABC'D,

его площадь поверхности и радиус вписанной сферы через

V, S, r.

Тогда

V=\tfrac{1}{3}rS.

Объём

ABC'D

равен объёму

ABCD,

так как

CC'\parallel AA',

поэтому

V=\tfrac{1}{6},

откуда

r=(2S)^{-1}.

Найдём

S.

Площади треугольников

ABD

ABA'

равны, а так как

AB=\sqrt{2},

то

S_{ABD}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Высота треугольника

ABC',

опущенная из

C',

равна

\sqrt{\tfrac{3}{2}},

поэтому

S_{ABC'}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Пусть

\lambda=\dfrac{A'D}{A'B'}=\dfrac{1}{3}.

Косинус угла между нормалью к

ADC'

и прямой

AA'

равен

\cos\varphi=\dfrac{\lambda}{\sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1}},\qquad S_{ADC'}=\dfrac{\lambda}{2\cos\varphi}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3\lambda^2-2\lambda+1}.

Площадь

S_{BDC'}

получается заменой

\lambda

на

1-\lambda: S_{BDC'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3(1-\lambda)^2-2(1-\lambda)+1}.

При

\lambda=\tfrac{1}{3}: S_{ADC'}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}},\quad S_{BDC'}=\tfrac{1}{2}.

S=S_{ABD}+S_{ABC'}+S_{ADC'}+S_{BDC'}=\tfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).

r=(2S)^{-1}=\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)^{-1}.

Задача 8МГУ

Найдите все значения параметра

a

, при которых уравнение

,\sin\left(x-a\ln|x|\right)=x+1,

имеет бесконечно много решений.