ДВИ МГУ по математике — 2013, Резерв

Условия, ответы и разборы всех задач потока

Поток 1Поток 2Поток 3Поток 4Резерв
Задача 1МГУ
Про квадратный трёхчлен f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c известно, что b=7b=7 и что f ⁣(13)=113f\!\left(\frac13\right)=\frac{11}3. Найдите f ⁣(−13)f\!\left(-\frac13\right).
Задача 2МГУ
Вычислите (log⁡43)log⁡43log⁡2(log⁡43).\left(\log_4 3\right)^{\tfrac{\log_4 3}{\log_2(\log_4 3)}}.
Задача 3МГУ
Решите неравенство (2x2−2x+1)x2−2x≤1.\left(2x^2-2x+1\right)^{x^2-2x}\le1.
Задача 4МГУ
Решите уравнение tg⁡2x−2sin⁡xtg⁡2x+2sin⁡x=0.\dfrac{\operatorname{tg}2x-2\sin x}{\operatorname{tg}2x+2\sin x}=0.
Задача 5МГУ
Из села Покровское до села Успенское ведут две дороги: одна через деревню Ивановка, другая через деревню Павловка — обе длиной 66 км. Иван и Павел отправились ровно в полдень из Покровского в Успенское, Иван — через Ивановку, Павел — через Павловку. Иван сразу сел на автобус, доехал до Ивановки, а оттуда пошёл в Успенское пешком. Павел пошёл до Павловки пешком, дошёл до неё в 12 ⁣: ⁣3012\!:\!30 — ровно когда Иван приехал в Успенское, тут же сел на автобус и приехал в Успенское в 12 ⁣: ⁣4012\!:\!40. Найдите расстояние от Ивановки до Успенского, если Иван и Павел шли со скоростью 44 км/ч, а автобусы двигались равномерно с одинаковой скоростью.
Задача 6МГУ
В треугольнике ABCABC проведены медианы AEAE и BDBD. Углы ∠EAB\angle EAB и ∠DBC\angle DBC равны, причём их косинусы равны 23\sqrt{\frac23}. Найдите BCBC, если AB=1AB=1.
Задача 7МГУ
Найдите все значения параметра aa, при которых уравнение ∣ln⁡(2(ax+1)−(x2+a2))∣=2x\big|\ln\big(2(ax+1)-(x^2+a^2)\big)\big|=2x имеет ровно одно решение.
Задача 8МГУ
В основании прямой призмы лежит правильный треугольник ABCABC со стороной 11. На двух рёбрах верхнего основания отмечены точки KK и LL, так что KL∥ACKL\parallel AC. Известно, что треугольник KMBKMB, где MM — середина ребра ACAC, является правильным. Найдите объём тетраэдра KLMBKLMB.