Оптимизация: На заводе имеется генератор с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом · ЕГЭ №17

1. Выразим мощность через сопротивление нагрузки.

По смыслу задачи \(R\geqslant 0.\) Подставим закон Ома в формулу мощности:

\[ I=\dfrac{120}{R+2},\qquad P(R)=I^2R=\dfrac{14400R}{(R+2)^2}. \]

Нужно найти наибольшее значение этой функции, поэтому вычислим производную.

2. Вычислим производную.

Используем правило производной частного:

\[ \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}. \]

\[ \begin{aligned} P'(R)&=14400\left(\dfrac{R}{(R+2)^2}\right)'\\ &=14400\dfrac{R'\cdot(R+2)^2-R\cdot\bigl((R+2)^2\bigr)'}{\bigl((R+2)^2\bigr)^2}\\[6pt] &=14400\dfrac{1\cdot(R+2)^2-R\cdot2(R+2)\cdot(R+2)'}{(R+2)^4}\\ &=14400\dfrac{(R+2)^2-2R(R+2)\cdot(1+0)}{(R+2)^4}\\[6pt] &=14400\dfrac{(R+2)^2-2R(R+2)}{(R+2)^4}\\ &=14400\dfrac{(R+2)\bigl((R+2)-2R\bigr)}{(R+2)^4}\\[6pt] &=14400\dfrac{(R+2)(2-R)}{(R+2)^4}\\ &=14400\dfrac{2-R}{(R+2)^3}. \end{aligned} \]

При \(R\geqslant0\) знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением \(2-R.\) Критическая точка: \(R=2.\)

Исследуем знак производной методом интервалов:



Следовательно, мощность максимальна при \(R=2\) Ом.

3. Вычислим максимальную мощность.

\[ P_{\max}=P(2)=\dfrac{14400\cdot2}{(2+2)^2} =\dfrac{28800}{16}=1800\ \text{Вт}. \]

Ответ: \(1800\) Вт.