Оптимизация: На заводе имеется генератор с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом · ЕГЭ №17

$1$. Выразим мощность через сопротивление нагрузки.
По смыслу задачи $R\geqslant 0$. Подставим закон Ома в формулу мощности:
$$ I=\frac{120}{R+2},\qquad P(R)=I^2R=\frac{14400R}{(R+2)^2}. $$
Нужно найти наибольшее значение этой функции, поэтому вычислим производную.

$2$. Вычислим производную.
Используем правило производной частного:
$$ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}. $$
$$ \begin{aligned} P'(R)&=14400\left(\frac{R}{(R+2)^2}\right)' =14400\frac{R'\cdot(R+2)^2-R\cdot\bigl((R+2)^2\bigr)'}{\bigl((R+2)^2\bigr)^2}\\[6pt] &=14400\frac{1\cdot(R+2)^2-R\cdot2(R+2)\cdot(R+2)'}{(R+2)^4} =14400\frac{(R+2)^2-2R(R+2)\cdot(1+0)}{(R+2)^4}\\[6pt] &=14400\frac{(R+2)^2-2R(R+2)}{(R+2)^4} =14400\frac{(R+2)\bigl((R+2)-2R\bigr)}{(R+2)^4}\\[6pt] &=14400\frac{(R+2)(2-R)}{(R+2)^4} =14400\frac{2-R}{(R+2)^3}. \end{aligned} $$
При $R\geqslant0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $2-R$. Критическая точка: $R=2$.
Исследуем знак производной методом интервалов:



Следовательно, мощность максимальна при $R=2$ Ом.

$3$. Вычислим максимальную мощность.
$$ P_{\max}=P(2)=\frac{14400\cdot2}{(2+2)^2} =\frac{28800}{16}=1800\ \text{Вт}. $$
Ответ: $1800$.