Тригонометрия и формулы: 2, 0, 3 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ЕГЭ 2023 (основа)

а) Решите уравнение

\sin{x}\cos{2x} -\sqrt{2}\cos^2{x}+\sin{x}=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]

Решение

а) Воспользуемся формулой:

\cos 2x = 2 \cos^2x -1.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

\sin x(2\cos ^2x -1) + \sin x - \sqrt{2}\cos ^2x = 0;\\\sin x (2\cos ^2x -1+1) - \sqrt{2} \cos ^2 x =0;\\2\sin x \cos ^2x - \sqrt{2} \cos^2x =0;\\\cos^2x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0;

Получаем:

\left[\begin{gathered} \cos x =0, \ \\ \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{2}+\pi k, \ \\ x = \dfrac{\pi}{4}+ 2\pi k, \ \\ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.\end{gathered}\right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия и формулы

На отрезок попали следующие корни:

\dfrac{3\pi}{2}, \ \dfrac{9\pi}{4}, \ \dfrac{5\pi}{2}, \ \dfrac{11\pi}{4}.

Ответ: а)

\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\};\,\, б) \dfrac{3\pi}{2},\,\, \dfrac{9\pi}{4},\,\, \dfrac{5\pi}{2},\,\, \dfrac{11\pi}{4}

Тригонометрия и формулы: 2, 0, 3 · ЕГЭ №14

Похожие задачи