Тригонометрия и формулы: 5, 2, 20, 3 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 23.04.2025

а) Решите уравнение

2 \sin2x+ \sqrt{20}\sin (x+\pi) = 2\sqrt{3} \sin \left( x - \dfrac{\pi}{2}\right) + \sqrt{15}

.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]

Решение

а) Упростим тригонометрические выражения с помощью формул приведения и формулы синуса двойного угла:

\sin 2x = 2\sin x \cos x;

\sin (x + \pi) = -\sin x;

\sin \left( x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

4\sin x \cos x - 2\sqrt{5}\sin x = -2\sqrt{3}\cos x + \sqrt{15};

4\sin x \cos x + 2\sqrt{3}\cos x - 2\sqrt{5}\sin x - \sqrt{15} =0;

2\cos x(2\sin x + \sqrt{3}) - \sqrt{5} (2\sin x+ \sqrt{3})=0;

(2\sin x+ \sqrt{3})(2\cos x- \sqrt{5})=0.

Получаем:

\left[\begin{gathered} 2\sin x+ \sqrt{3} =0, \\ 2\cos x- \sqrt{5} = 0.\end{gathered}\right.

\left[\begin{gathered} \sin x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \ \\ \cos x = \dfrac{\sqrt{5}}{2} > 1~ -~ нет ~ решений.\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} x = - \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \ \\ x = - \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}\end{gathered}\right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия и формулы

На отрезок попал корень

x = \dfrac{11\pi}{3}

.

Ответ: а)

- \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ - \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, k \in \mathbb{Z};

б)

\dfrac{11\pi}{3}

Тригонометрия и формулы: 5, 2, 20, 3 · ЕГЭ №14

Похожие задачи