Тригонометрия и формулы: 2, 3 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

МЦКО

а) Решите уравнение

2\sin{3x} - \cos{x} = \sqrt{3}\sin{x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]

Решение

а) Разделим обе части уравнения на

2

\sin{3x} = \dfrac{1}{2}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}.

Заметим, что

\sin{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{1}{2},\quad \cos{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Тогда по формуле синуса суммы получаем:

\sin{3x} = \sin{\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)}.

Значения синусов одинаковы, если их аргументы равны или отличаются на

\pi

(с точностью до периода). Получаем:

\left[ \begin{array}{l} 3x = x + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\\ 3x = \pi - x - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}; \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\\[2.5mm] 4x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}; \end{array} \right. \quad \Rightarrow

\Rightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{12} + 2\pi k,\\[2.5mm] x = \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi k}{2}, k\in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия и формулы

На отрезок попали корни:

-\dfrac{7\pi}{24},\quad \dfrac{\pi}{12},\quad \dfrac{5\pi}{24}

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{12} + 2\pi k, \dfrac{5\pi}{24} + \dfrac{\pi k}{2}, k\in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{\pi}{12},\dfrac{5\pi}{24}, -\dfrac{7\pi}{24}

Тригонометрия и формулы: 2, 3 · ЕГЭ №14

Похожие задачи