Тригонометрия и формулы: 0, 6, 3, 4 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГКР 10.12.2024

a) Решите уравнение

\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -\dfrac{3\pi}{2}; 0 \right].

Решение

а) Воспользуемся формулой синуса суммы и упростим уравнение:

\left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{6} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{6}\right) + \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{3} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin \dfrac{\pi}{4}\right);

\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x;

\sin x \cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \cos x \cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0;

\sin x + \cos x = 0; \ | :\cos x\neq 0

\tg x = -1;

x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k\in\mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0 \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия и формулы

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{5\pi}{4},\ -\dfrac{\pi}{4}.

Ответ: а)

-\dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{5\pi}{4},\ -\dfrac{\pi}{4}

Тригонометрия и формулы: 0, 6, 3, 4 · ЕГЭ №14

Похожие задачи