Уравнения: а) Решите уравнение sin 2x=sin(x-3π2).б)... — задача

а)
Синус является нечётной функцией ($$\sin(-\alpha) = -\sin{\alpha}$$). Упростим тригонометрические выражения с помощью формулы приведения ($$\sin\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos\alpha$$) и формулы синуса двойного угла ($$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$):
\[ \sin\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right) = -\left(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)\right) = -(-\cos x) = \cos x; \]
\[ \sin 2x=2\sin x\cos x. \]
Уравнение принимает вид
\[ 2\sin x\cos x=\cos x; \]
\[ 2\sin x\cos x-\cos x=0; \]
\[ \cos x\left(2\sin x-1\right)=0. \]
Решая простейшие тригонометрические уравнения, получаем:
\[ \left[ \begin{array}{l} \cos x=0,\\[2mm] \sin x=\dfrac{1}{2} \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\\[2mm] x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\\[2mm] x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right. \]

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.



На отрезок попали следующие корни:
\[ \dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{17\pi}{6},\ \dfrac{7\pi}{2}. \]

Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\ \dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$ б) $\dfrac{5\pi}{2},\ \dfrac{17\pi}{6},\ \dfrac{7\pi}{2}.$