Тригонометрия и формулы: 2, 11, 4 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 23.04.2025

а) Решите уравнение

\cos (-2x) - \dfrac{\sin(x- \pi)}{\sqrt{2}} = \sin ^2 \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right)

.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -\dfrac{11\pi}{2}; -4\pi \right]

Решение

а) Упростим тригонометрические выражения с помощью формул приведения и формулы косинуса двойного угла:

\cos (-2x) = \cos 2x = \cos ^2x-\sin ^2x;

\sin (x-\pi) = - \sin x;

\sin^2 \left( x - \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos^2x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

\cos ^2x-\sin ^2x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = \cos ^2x;

\sin x \left( - \sin x + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0.

Получаем

\left[ \begin{gathered} \sin x =0, \ \\ \sin x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} x = \pi k, \ \\ x = \dfrac{\pi}{4}+2\pi k, \ \\ x = \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[ -\dfrac{11\pi}{2}; -4\pi \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия и формулы

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{21\pi}{4}, \ -5\pi, \ -4\pi.

Ответ: а)

\pi k, \ \dfrac{\pi}{4}+2\pi k, \ - \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z};

б)

-\dfrac{21\pi}{4}, \ -5\pi, \ -4\pi

Тригонометрия и формулы: 2, 11, 4 · ЕГЭ №14

Похожие задачи