Тригонометрия и формулы: 7, 4, 2, 9 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГКР 06.04.2023

а) Решите уравнение

\sqrt{4 \cos ^2 x+9 \cos x+6}=\sqrt{\cos x+11}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]

Решение

а) Уравнение

\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}

равносильно любой из систем

\begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \geqslant 0; \end{cases} \quad \ \text{или} \ \qquad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \geqslant 0. \end{cases}

Значит,

\begin{cases} 4 \cos ^2 x+9 \cos x+6 = \cos x+11, \\ \cos x+11 \geqslant0; \end{cases} \quad \begin{cases} 4 \cos ^2 x + 8\cos x - 5 = 0, \\ x\in \mathbb{R}. \end{cases}

Пусть

\cos x = t

, тогда уравнение будет иметь вид

4t^2 + 8t - 5 = 0

D = 64 + 80 = 144;\\ t_1 = \dfrac{-8 - 12}{2\cdot 4} = -\dfrac{5}{2}, \quad t_2 = \dfrac{-8 + 12}{2\cdot 4} = \dfrac{1}{2}.

Выполним обратную замену:

\cos x = -2,5 < -1, \quad x\in \varnothing.\\ \cos x = \dfrac{1}{2}, \quad x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия и формулы

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{7\pi}{3}.

Ответ: а)

\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{7\pi}{3}.

Тригонометрия и формулы: 7, 4, 2, 9 · ЕГЭ №14

Похожие задачи