Теория чисел: Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваСтатГрад 22.04.2026

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с пятёрки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.
а) Может ли у Полины получиться число

2

?
б) Может ли у Полины получиться число

15,5

?
в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Решение

Пусть Юра задумал двузначные числа
и составил из них четырёхзначное число

\overline{xy} = 100x + y,

где

x

y

-- двузначные числа.
а) Полина делит число

\overline{xy}

на

x

и на

y

.
Пусть в итоге получится 2, тогда

\dfrac{\overline{xy}}{x \cdot y} = 2,\quad \overline{xy} = 2xy, \quad 100x + y = 2xy; \\4xy - 2y - 200x = 0;\\2y(2x - 1) - 100(2x - 1) - 100 = 0;\\(2y - 100)(2x - 1) = 100.

Одно из чисел

x

или

y

начинается с 5.

1) Пусть с 5 начинается

y

, тогда

y \in [50; 59], \quad 2y \in [100; 118], \quad 2y - 100 \in [0; 18].

Положительные числа из этого отрезка,
которые являются делителями 100, это
1, 2, 4, 5, 10.
(а)

2y - 100 = 1, \quad 2y = 101, \quad y = \dfrac{101}{2} \notin \mathbb{N};

(б)

2y - 100 = 2, \quad 2y = 102, \quad y = 51.

Подставим в уравнение:

(2y - 100)(2x - 1) = 100;\\2 \cdot (2x - 1) = 100; \\2x - 1 = 50;\\2x = 51, \quad x = \dfrac{51}{2} \notin \mathbb{N};

(в)

2y-100=4, \quad 2y=104, \quad y=52.

Подставим в уравнение:

(2y - 100)(2x - 1) = 100;\\4 \cdot (2x - 1) = 100; \\2x - 1 = 25;\\2x = 26, \quad x = 13.

Значит,

x = 13

y = 52

\overline{xy} = 1352,

\dfrac{1352}{13 \cdot 52} = 2,

верно.
Примечание: Если попробовать вариант,
в котором

x

начинается с 5, то
придём к противоречию. Пусть

x

начинается с 5, тогда

x \in [50; 59]

2x \in [100; 118]

2x - 1 \in [99; 117].

Из всех чисел отрезка

[99; 117]

делителем числа 100 является только 100.
Получим

2x - 1 = 100,

тогда

2y - 100 = 1;\\2y = 101;\\y = \frac{101}{2} \notin \mathbb{N}.

Значит, с пятёрки начинается только

y

.

в) Найдём наибольшее возможное значение числа Полины.

\frac{100x+y}{x \cdot y} = \frac{100}{y} + \frac{1}{x}.

Если с 5 начинается

x

, то

\begin{cases}x \in [50; 59], \\y \in [10; 99],\end{cases}\quad \text{тогда}

\frac{100x+y}{xy} = \frac{100}{y} + \frac{1}{x} \le \frac{100}{10} + \frac{1}{50} = 10\frac{1}{50}.

Приведём пример:

x=50, y=10

, тогда

\frac{5010}{50 \cdot 10} = \frac{501}{50} = 10\frac{1}{50}.

Если с 5 начинается

y

, то

\begin{cases}x \in [10; 99], \\y \in [50; 59];\end{cases}

\frac{100x+y}{xy} = \frac{100}{y} + \frac{1}{x} \le \frac{100}{50} + \frac{1}{10} = \frac{105}{50} = 2\frac{1}{10},

а это меньше предыдущей оценки

10\dfrac{1}{50}.

Значит, наибольшее возможное значение

10\dfrac{1}{50}

, пример

x=50

, \

y=10

.
б)

15,5 < 10\dfrac{1}{50}

, значит, это невозможно.

Ответ: а) да; б) нет; в)

10\dfrac{1}{50}

Теория чисел: Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает... — задача

Похожие задачи