Теория чисел: На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2025 (резерв)

На доске написано

24

числа: восемь «

5

», восемь «

4

» и восемь «

3

». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно

A

, среднее арифметическое чисел во второй группе равно

B

. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше

\dfrac{A+B}{2}

.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по

12

чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно

\dfrac{A+B}{2}

.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения

\dfrac{A+B}{2}

Решение

а) Пусть в группе I будет только число 5,

A=5

. \par \medskip
Значит, во II группе будут все остальные числа, поэтому

B=\dfrac{5\cdot 7 + 4\cdot 8+3\cdot8}{23}=\dfrac{91}{23}

.
Следовательно,

\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{1}{2}\left(5+\dfrac{91}{23}\right)=\dfrac{103}{23}=4\dfrac{11}{23}.

При этом среднее арифметическое всех чисел будет равно

\dfrac{8(5+4+3)}{24}=4

. Получаем, что

\dfrac{A+B}{2}>4

.
б) Пусть в I группе находится 12 чисел, дающих в сумме

x

, тогда

A=\dfrac{x}{12}

. Общая сумма чисел равна

8(5+4+3)=96

. Следовательно, сумма чисел в группе II равна

(96-x)

, а

B=\dfrac{96-x}{12}

.
Получаем, что

\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{12}+\dfrac{96-x}{12}\right)=4

, что совпадает со средним арифметическим всех чисел, вычисленным в пункте а), ч.т.д.
в) Пусть в I группе

n

чисел, их сумма

x

, тогда во группе II

(24-n)

чисел, сумма которых равна

(96-x)

.
Пусть

n<12

, так как при

n=12

выражение

\dfrac{A+B}{2}=4

, а при

n>12

группы просто поменяем местами. Тогда

\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\dfrac{x}{n}+\dfrac{96-x}{24-n}}{2}=\dfrac{24x+96n-2xn}{2n(24-n)}=\dfrac{x(12-n)+48n}{n(24-n)}.

При этом

12-n>0

, а также

x\leqslant5n

, так как каждое число не превосходит 5. Значит,

\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{x(12-n)+48n}{n(24-n)}\leqslant \dfrac{5n(12-n)+48n}{n(24-n)}=\dfrac{60+48-5n}{24-n}=\dfrac{108-5n}{24-n}=

=\dfrac{120-5n}{24-n}-\dfrac{12}{24-n}=5-\dfrac{12}{24-n}\leqslant5-\dfrac{12}{23}=\dfrac{103}{23}=4\dfrac{11}{23}.

Пример для такого случая приведён в пункте а).
Ответ: а) I группа -- число 5, II группа -- остальные числа; в)

4\dfrac{11}{23}

Теория чисел: На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь... —...

Похожие задачи