Теория чисел: На окружности некоторым образом расставили... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваСтатград 20.03.2024

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от

6

до

23

(каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше

9

?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше

8

?

в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа

k

можно так расставить числа, чтобы все разности соседних чисел и чисел, стоящих через одно, были не меньше

k

Решение

а) Рассмотрим число

15

. Если все разности соседних чисел должны быть не меньше

9

, то рядом с числом

15

могут стоять только такие числа, которые отличаются от него хотя бы на

9

.

Слева от

15

на расстоянии

9

находится число

15-9=6.

Справа от

15

на расстоянии

9

должно было бы находиться число

15+9=24.

Но числа

24

среди расставляемых чисел нет, так как используются только натуральные числа от

6

до

23

.

Значит, среди данных чисел есть только одно число, которое может стоять рядом с

15

, а именно число

6

. Но на окружности у каждого числа есть два соседа. Поэтому число

15

не может иметь двух соседей, отличающихся от него не меньше чем на

9

.

Следовательно, все полученные разности не могли быть не меньше

9

.

б) Покажем, что это возможно.

Расставим числа по окружности, например, так:

Рисунок 1 к решению задачи №20: Свойства чисел

В этой расстановке числа чередуются так:

6,\ 15,\ 7,\ 16,\ 8,\ 17,\ 9,\ 18,\ 10,\ 19,\ 11,\ 20,\ 12,\ 21,\ 13,\ 22,\ 14,\ 23.

Проверим разности соседних чисел. Получаем:

15-6=9,\quad 15-7=8,\quad 16-7=9,\quad 16-8=8,

и далее аналогично по всей окружности. Каждая разность соседних чисел не меньше

8

.

Следовательно, такая расстановка существует.

в) Сначала покажем, что

k\geqslant 6

быть не может.

Разобьём все числа от

6

до

23

на три группы:

6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11;

12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17;

18,\ 19,\ 20,\ 21,\ 22,\ 23.

Если

k\geqslant 6

, то любые два числа из одной группы не могут стоять ни рядом, ни через одно, потому что разность любых двух чисел внутри одной группы меньше

6

.

В каждой группе по

6

чисел, а всего на окружности

18

мест. Поэтому числа каждой группы должны стоять через два места. Иначе говоря, в любых трёх подряд идущих местах должно быть по одному числу из каждой группы.

Рассмотрим число

12

. Среди чисел первой группы с ним может стоять рядом или через одно только число

6

, так как

12-6=6,

а для чисел

7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11

разность с числом

12

меньше

6

.

Но вокруг числа

12

есть четыре места, которые проверяются по условию: два соседних места и два места через одно. По рассуждению выше среди этих четырёх мест должны быть два числа из первой группы и два числа из третьей группы.

Получаем противоречие: из первой группы около числа

12

может стоять только одно подходящее число, а нужно два.

Значит,

k\geqslant 6

невозможно, поэтому

k<6.

Теперь покажем, что

k=5

достижимо.

Расставим числа по окружности, например, так:

Рисунок 2 к решению задачи №20: Свойства чисел

Проверим разности соседних чисел. Все они равны либо

6

, либо

11

, либо

17

, значит, все не меньше

5

.

Теперь рассмотрим числа, стоящие через одно. Их разности равны либо

12

, либо

5

, либо

13

, значит, они тоже не меньше

5

.

Следовательно, можно так расставить числа, чтобы все разности соседних чисел и чисел, стоящих через одно, были не меньше

5

.

Значит, значение

k=5

достижимо.

Так как

k\geqslant 6

невозможно, а

k=5

возможно, наибольшее значение равно

k=5.

Ответ: а) нет; б) да; в)

5

Теория чисел: На окружности некоторым образом расставили... — задача

Похожие задачи