Теория чисел: На доске было написано несколько различных... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваСтатГрад 02.10.2024

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру

7

, к каждому числу из второй группы —-- цифру

9

, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в

2

раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в

19

раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в

11

раз. Какое наибольшее
количество чисел могло быть написано на доске?

Решение

Пусть

S_1

--- сумма чисел в первой группе,

S_2

— во второй,

S_3

— в третьей,

n_1,n_2,n_3

--- их количества соответственно.

После приписывания цифр:

1) Числа первой группы превращаются в

10a+7

, их новая сумма

10S_1+7n_1

.
2) Числа второй группы превращаются в

10b+9

, их новая сумма

10S_2+9n_2

.
3) Третья группа не меняется: сумма

S_3

.

Общая новая сумма:

10S_1+7n_1+10S_2+9n_2+S_3

. Исходная сумма:

S_1+S_2+S_3

.

а) Пусть увеличение в 2 раза:

10S_1+7n_1+10S_2+9n_2+S_3 = 2(S_1+S_2+S_3);

Преобразуем

10S_1+7n_1+10S_2+9n_2+S_3 = 2S_1+2S_2+2S_3;\\S_3 = 8S_1+8S_2+7n_1+9n_2.

Подберём пример. Возьмём

n_1 =n_2=n_3=1

. Пусть в первой группе число 1, во второй 2, в третьей 40. Тогда

S_1 = 1, \ S_2 = 2, \ S_3 = 40.

Проверяем:

8\cdot 1 + 8 \cdot 2 + 7\cdot 1 + 9 \cdot 1 = 40 = S_3

. Равенство выполнено. Исходная сумма

1+2+40=43

, новая сумма

17+29+40 = 86

\dfrac{86}{43}=2

.

б) Пусть увеличение в 19 раз:

10S_1+7n_1+10S_2+9n_2+S_3 = 19(S_1+S_2+S_3);

Преобразуем

10S_1+7n_1+10S_2+9n_2+S_3 = 19S_1+19S_2+19S_3;\\ 7n_1+9n_2= 9S_1+9S_2+18S_3.

Заметим, что

n_1 \leq S_1, n_2 \leq S_2

, так как числа натуральные и различные (минимальная сумма

n

чисел не меньше

n

). Тогда левая часть

\leq 7S_1+9S_2

. Правая часть

= 9S_1+9S_2+18S_3 \geq 9S_1+9S_2

. Чтобы равенство выполнялось, нужно

7S_1+9S_2 \geq 9S_1+9S_2+18S_3

, что невозможно при положительных

S_3

.

в) По условию увеличение в 11 раз:

10S_1+7n_1+10S_2+9n_2+S_3 = 11(S_1+S_2+S_3);

Преобразуем

10S_1+7n_1+10S_2+9n_2+S_3 = 11S_1+11S_2+11S_3;\\S_1+S_2+10S_3 = 7n_1+9n_2

Заметим, что если

n \geq 15

, где

n=n_1+n_2+n_3

, то

7S_1+9S_2 \leq 9(n-2) + 7 = 9n - 11\\x_1+x_2+10x_3 \geq \dfrac{n(n+1)}{2}+9

Тогда докажем, что

\dfrac{n(n+1)}{2}+9 > 9n-11

Преобразуем

n^2 + n + 18 > 18n-22;\\n^2 -17n+40 > 0

Данное неравенство всегда выполняется для любых

n \geq 15

, противоречие. Значит

n \leq 14

.

При

n= 14

:

Пусть в первой группе будет число 15, во второй ---

2,3,4, \dots 13

, в третьей --- 1. Тогда

n_1=n_3=1, n_2 =12, \ S_1 = 15, S_2 = 90, S_3=1.

Проверяем:

15 + 90+10 \cdot 1 = 115, \ 7\cdot 1+9\cdot 12 = 115

. Равенство выполнено. Исходная сумма

15 + 90 + 1 = 106

, новая сумма

157+1008+1 = 1166

\dfrac{1166}{11}=106

.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 14.

Теория чисел: На доске было написано несколько различных... — задача

Похожие задачи