Теория чисел: Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваСтатГрад 22.04.2026

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с тройки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.
а) Может ли у Полины получиться число

3

?
б) Может ли у Полины получиться число

13,5

?
в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Решение

Пусть Юра задумал двузначные числа
и составил из них четырёхзначное число

\overline{xy} = 100x + y,

где

x

y

-- двузначные числа.
а) Полина делит число

\overline{xy}

на

x

и на

y

.
Пусть в итоге получится 3, тогда

\dfrac{\overline{xy}}{x \cdot y} = 3,\quad \overline{xy} = 3xy, \quad 100x + y = 3xy;\\9xy - 3y - 300x = 0;\\3y(3x - 1) - 100(3x - 1) - 100 = 0;\\\(3y - 100)(3x - 1) = 100.

Одно из чисел

x

или

y

начинается с 3.
1) Пусть с 3 начинается

y

, тогда

y \in [30; 39], \quad 3y \in [90; 117], \quad 3y - 100 \in [-10; 17].

Положительные числа из этого отрезка,
которые являются делителями 100, это
1, 2, 4, 5, 10.
(а)

3y - 100 = 1, \quad 3y = 101, \quad y = \dfrac{101}{3} \notin \mathbb{N};

(б)

3y - 100 = 2, \quad 3y = 102, \quad y = 34.

Подставим в уравнение:

(3y - 100)(3x - 1) = 100;\\2 \cdot (3x - 1) = 100; \\3x - 1 = 50;\\3x = 51, \quad x = 17.

Значит,

x = 17

y = 34

\overline{xy} = 1734,

\dfrac{1734}{17 \cdot 34} = 3,

верно.

Примечание: Если попробовать вариант,
в котором

x

начинается с 3, то
придём к противоречию. Пусть

x

начинается с 3, тогда

x \in [30; 39]

3x \in [90; 117]

3x - 1 \in [89; 116].

Из всех чисел отрезка

[89; 116]

делителем числа 100 является только 100.
Получим

3x - 1 = 100,

тогда

3y - 100 = 1;\\3y = 101;\\y = \frac{101}{3} \notin \mathbb{N}.

Значит, с тройки начинается только

y

.

в) Найдём наибольшее возможное значение числа Полины.

\frac{100x+y}{x \cdot y} = \frac{100}{y} + \frac{1}{x}.

Если с 3 начинается

x

, то

\begin{cases}x \in [30; 39], \\y \in [10; 99],\end{cases}\quad \text{тогда}

\frac{100x+y}{xy} = \frac{100}{y} + \frac{1}{x} \le \frac{100}{10} + \frac{1}{30} = 10\frac{1}{30}.

Приведём пример:

x=30, y=10

, тогда

\frac{3010}{30 \cdot 10} = \frac{301}{30} = 10\frac{1}{30}.

Если с 3 начинается

y

, то

\begin{cases}x \in [10; 99], \\y \in [30; 39];\end{cases}

\frac{100x+y}{xy} = \frac{100}{y} + \frac{1}{x} \le \frac{100}{30} + \frac{1}{10} = \frac{103}{30} = 3\frac{13}{30},

а это меньше предыдущей оценки

10\dfrac{1}{30}.

Значит, наибольшее возможное значение

10\dfrac{1}{30}

, пример

x=30

, \

y=10

.
б)

13,5 < 10\dfrac{1}{30}

, значит, это невозможно.

Ответ: а) да; б) нет; в)

10\dfrac{1}{30}

Теория чисел: Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает... — задача

Похожие задачи