Теория чисел: Отношение трёхзначного натурального числа к... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГКР 05.04.2024

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным

67

?
б) Может ли это отношение быть равным

83

?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна

6

Решение

Пусть искомое число имеет вид

\overline{abc} = 100a + 10b + c

, где

a\in \{1; 2; \ldots; 9\}

b, c \in \{0; 1; \ldots; 9\}

.
а)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 67, \quad 100a + 10b + c = 67a + 67b + 67c, \quad 33a = 57b + 66c.

Данное равенство возможно при

a = 2

b = 0

c = 1

.
б)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 83, \quad 100a + 10b + c = 83a + 83b + 83c, \quad 17a = 73b + 82c.

Заметим, что

17a\leqslant 17\cdot 9 = 153

.
При

b = c = 0

равенство неверно.
При

b = 1

c = 0

получим, что

17a = 73

a = \dfrac{73}{17} \not \in \mathbb{N}

.
При

b = 0

c = 1

получим, что

17a = 82

a = \dfrac{82}{17} \not \in \mathbb{N}

.
При остальных значениях

b

c

правая часть не меньше

73 + 82 = 155

, получаем противоречие.
в) При

a = 6

имеем:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = \dfrac{594 + 9b}{6 + b + c} + 1 \geqslant \dfrac{594 + 9b}{15 + b} + 1 = \dfrac{459}{15 + b} + 10 \geqslant \dfrac{459}{24} + 10 = 29,125.

Попробуем получить 30:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 30, \quad 600 + 10b + c = 180 + 30b + 30c, \quad 420 = 20b + 29c, \quad 420 - 20b = 29c.

Левая часть кратна 10, а правая будет кратна 10, если

c = 0

. Но тогда

b = 21

, что не подходит.
Попробуем получить 31:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 31, \quad 600 + 10b + c = 186 + 31b + 31c, \quad 414 = 21b + 30c, \quad 138 - 10c = 7b.

Левая часть чётна, а правая будет чётна, если

b

-- чётное. Рассмотрим варианты:

При

b = 0

c = \dfrac{138}{10} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 2

c = \dfrac{124}{10} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 4

c = 11

, не подходит,

c

-- цифра.

При

b = 6

c = \dfrac{96}{10} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 8

c = \dfrac{82}{10} \not \in \mathbb{N}

.

Попробуем получить 32:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 32, \quad 600 + 10b + c = 192 + 32b + 32c, \quad 408 = 22b + 31c, \quad 408 - 22b = 31c.

Левая часть чётна, а правая будет чётна, если

c

-- чётное. \par \medskip Рассмотрим варианты:

При

c = 0

b = \dfrac{408}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 2

c = \dfrac{346}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 4

c = \dfrac{284}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 6

c = \dfrac{222}{22} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 8

c = \dfrac{160}{22} \not \in \mathbb{N}

.

Попробуем получить 33:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 33, \quad 600 + 10b + c = 198 + 33b + 33c, \quad 402 = 23b + 32c, \quad 402 - 32c = 23b.

Левая часть чётна, а правая будет чётна, если

b

-- чётное. Рассмотрим варианты:

При

b = 0

c = \dfrac{402}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 2

c = \dfrac{356}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 4

c = \dfrac{310}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 6

c = \dfrac{264}{32} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 8

c = \dfrac{218}{32} \not \in \mathbb{N}

.

Попробуем получить 34:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 34, \quad 600 + 10b + c = 204 + 34b + 34c, \quad 396 = 24b + 33c, \quad 132 - 11c = 8b.

Левая часть кратна 11, а правая будет кратна 11, если

b = 0

. Но тогда

c = 12

, что не подходит.
Попробуем получить 35:

\dfrac{600 + 10b + c}{6 + b + c} = 35, \quad 600 + 10b + c = 210 + 35b + 35c, \quad 390 = 25b + 34c, \quad 390 - 25b = 34c.

Левая часть кратна 5, а правая будет кратна 5, если

c = 0

или

c = 5

.

При

c = 0

b = \dfrac{390}{25} \not \in \mathbb{N}

.

При

c = 5

b = \dfrac{220}{25} \not \in \mathbb{N}

.
Результат 36 достигается при

b = 4

c = 8

\dfrac{648}{18} = 36.

Ответ: а) да, б) нет, в) 36.

Теория чисел: Отношение трёхзначного натурального числа к... — задача

Похожие задачи