Теория чисел: Каждое из 4 последовательных натуральных чисел... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2022 (досрок)

Каждое из

4

последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть

S

— сумма

4

получившихся чисел.

а) Может ли

S=41\dfrac{11}{24}

?

б) Может ли

S=569\dfrac{29}{72}

?

в) Какое наибольшее целое значение может принимать

S

, если известно, что

4

исходных числа не меньше

400

и не больше

999

Решение

а) Нужно получить

S=41\dfrac{11}{24}.

Заметим, что если число двузначное и имеет первую цифру

a

, то его можно записать в виде

10a+c,

где

c

--- число, образованное оставшейся цифрой. Тогда после деления на первую цифру получаем

\dfrac{10a+c}{a}=10+\dfrac{c}{a}.

То есть каждое двузначное число после деления на свою первую цифру даёт

10

и некоторую дробную часть.

Так как целая часть числа

41\dfrac{11}{24}

близка к

40

, логично искать пример среди четырёх двузначных чисел.

Теперь посмотрим на дробную часть. Нам нужен знаменатель

24

. Если первые цифры у четырёх последовательных чисел меняются, то возможные соседние пары первых цифр:

1,2;\ 2,3;\ 3,4;\ 4,5;\ 5,6;\ 6,7;\ 7,8;\ 8,9.

Их общие знаменатели:

2,\ 6,\ 12,\ 20,\ 30,\ 42,\ 56,\ 72.

Из них только

72

может после сокращения дать знаменатель

24

. Значит, нужно искать пример на переходе от чисел с первой цифрой

8

к числам с первой цифрой

9

.

Возьмём четыре последовательных числа:

89,\ 90,\ 91,\ 92.

Тогда

S=\dfrac{89}{8}+\dfrac{90}{9}+\dfrac{91}{9}+\dfrac{92}{9}.

Получаем

S=11\dfrac18+10+10\dfrac19+10\dfrac29.

Значит,

S=41+\dfrac18+\dfrac19+\dfrac29=41+\dfrac18+\dfrac13=41+\dfrac{3}{24}+\dfrac{8}{24}=41\dfrac{11}{24}.

Следовательно, такое значение возможно.

б) В пункте а) мы уже заметили, что знаменатель

72

может появиться только в случае, когда среди первых цифр встречаются

8

9

. Значит, если бы значение

S=569\dfrac{29}{72}

было возможно, то четыре последовательных числа должны были бы находиться на переходе от чисел с первой цифрой

8

к числам с первой цифрой

9

.

Оценим, насколько большой могла бы быть сумма в этом случае. Если число имеет вид

\overline{abc}=100a+10b+c,

то после деления на первую цифру получаем

\dfrac{100a+10b+c}{a}=100+\dfrac{10b+c}{a}.

При первых цифрах

8

9

имеем

a\geqslant 8

, а также

10b+c\leqslant 99

. Поэтому

100+\dfrac{10b+c}{a}\leqslant100+\dfrac{99}{8}<113.

Значит, сумма четырёх таких чисел после деления на первые цифры меньше, чем

4\cdot 113=452.

Но

569\dfrac{29}{72}>452.

Получили противоречие. Следовательно, такое значение невозможно.

в) Рассмотрим четыре последовательных числа от

400

до

999

.

Сначала пусть все четыре числа начинаются с цифры

4

. Тогда, если первое число равно

n

, имеем

S=\dfrac{n}{4}+\dfrac{n+1}{4}+\dfrac{n+2}{4}+\dfrac{n+3}{4}=\dfrac{4n+6}{4}=n+\dfrac32.

Такое значение не является целым. Значит, если все четыре числа начинаются с

4

, целого значения

S

получить нельзя.

Теперь рассмотрим числа, которые начинаются с цифр от

5

до

9

. Чтобы получить наибольшее значение, нужно взять как можно большие числа с как можно меньшей первой цифрой. Поэтому максимум среди таких наборов достигается на числах

596,\ 597,\ 598,\ 599.

Для них

S=\dfrac{596}{5}+\dfrac{597}{5}+\dfrac{598}{5}+\dfrac{599}{5}=\dfrac{2390}{5}=478.

Осталось проверить переход от чисел, начинающихся с

4

, к числам, начинающимся с

5

. Возможны только наборы

497,\ 498,\ 499,\ 500,

498,\ 499,\ 500,\ 501,

499,\ 500,\ 501,\ 502.

Даже для первого из них, где сумма наибольшая, получаем

\dfrac{497}{4}+\dfrac{498}{4}+\dfrac{499}{4}+\dfrac{500}{5}=124\dfrac14+124\dfrac12+124\dfrac34+100=473\dfrac12.

Это меньше

478

.

Следовательно, наибольшее целое значение

S

равно

478

.

Ответ: а) да; б) нет; в)

478

Теория чисел: Каждое из 4 последовательных натуральных чисел... —...

Похожие задачи