Теория чисел: а) Может ли десятичная запись произведения... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваСтатГрад 31.01.2024

а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на

500

?
б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на

1250

?
в) Найдите все такие натуральные числа

n

, что каждое из чисел

n

n+1

n+2

трёхзначное, а десятичная запись их произведения

n(n+1)(n+2)

оканчивается на

4000

Решение

а)
Заметим, что число оканчивается на

500

тогда и только тогда, когда оно делится на

500

, но не делится на

1000

.

Достаточно привести пример. Возьмём три последовательных трёхзначных числа:

123,\quad 124,\quad 125.

Тогда

123\cdot124\cdot125=123\cdot31\cdot4\cdot125=123\cdot31\cdot500.

В нашем случае произведение делится на

500

, при этом число

123\cdot31

нечётное, значит, произведение не делится на

1000

.

Следовательно, число

123\cdot124\cdot125

оканчивается на

500

.

б) Если произведение трёх последовательных трёхзначных чисел оканчивается на

1250

, то его можно представить в виде

1250+10000k.

Значит, это число делится на

625

.

Среди трёх последовательных чисел

n

n+1

n+2

не может быть двух чисел, делящихся на

5

, поэтому максимум одно из них делится на

5

.

Тогда одно из чисел

n

n+1

n+2

должно делиться на

625

.

Так как числа трёхзначные, возможны только такие тройки:

\begin{gathered} 623,\ 624,\ 625;\\ 624,\ 625,\ 626;\\ 625,\ 626,\ 627. \end{gathered}

В первых двух случаях произведение делится на

100

, так как

625

делится на

25

, а

624

делится на

4

.

Поэтому эти произведения оканчиваются на

00

, то есть точно не на

1250

.

Осталось проверить последний случай:

625\cdot626\cdot627=245313750.

Это число оканчивается на

3750

, а не на

1250

.

в) Если произведение трёх последовательных трёхзначных чисел оканчивается на

4000

, то его можно представить в виде

4000+10000k.

Значит, это число делится на

2000=125\cdot16.

Значит, среди чисел

n

n+1

n+2

одно из них должно делиться на

125

.

Трёхзначные числа, кратные

125

, таковы:

125,\ 250,\ 375,\ 500,\ 625,\ 750,\ 875.

Начнём перебирать возможные тройки.

Если одно из чисел равно

125

, то возможны тройки

\begin{gathered}123,\ 124,\ 125;\\124,\ 125,\ 126;\\125,\ 126,\ 127.\end{gathered}

Ни одна из них не даёт делимости на

2^4

, значит, они не подходят.

Если одно из чисел равно

250

, то возможны тройки

\begin{gathered}248,\ 249,\ 250;\\249,\ 250,\ 251;\\250,\ 251,\ 252.\end{gathered}

Подойти может только первая тройка, остальные не дают достаточно двоек.

Если одно из чисел равно

375

, то возможны тройки

\begin{gathered}373,\ 374,\ 375;\\374,\ 375,\ 376;\\375,\ 376,\ 377.\end{gathered}

Подойти может только вторая тройка.

Если одно из чисел равно

500

, то возможны тройки

\begin{gathered}498,\ 499,\ 500;\\499,\ 500,\ 501;\\500,\ 501,\ 502.\end{gathered}

Ни одна из них не подходит.

Если одно из чисел равно

625

, то возможны тройки

\begin{gathered}623,\ 624,\ 625;\\624,\ 625,\ 626;\\625,\ 626,\ 627.\end{gathered}

Ни одна из них не подходит.

Если одно из чисел равно

750

, то возможны тройки

\begin{gathered}748,\ 749,\ 750;\\749,\ 750,\ 751;\\750,\ 751,\ 752.\end{gathered}

Подойти может только третья тройка.

Если одно из чисел равно

875

, то возможны тройки

\begin{gathered}873,\ 874,\ 875;\\874,\ 875,\ 876;\\875,\ 876,\ 877.\end{gathered}

Ни одна из них не подходит.

Таким образом, остаются только три кандидата:

\begin{gathered}248\cdot249\cdot250,\\374\cdot375\cdot376,\\750\cdot751\cdot752.\end{gathered}

Проверим их:

248\cdot249\cdot250=15438000,

это число оканчивается на

8000

;

374\cdot375\cdot376=52734000,

это число оканчивается на

4000

;

750\cdot751\cdot752=423564000,

это число тоже оканчивается на

4000

.

Значит,

n=374 \quad \text{или} \quad n=750.

Ответ: а) Да. б) Нет. в)

374

;

750

Теория чисел: а) Может ли десятичная запись произведения... — задача

Похожие задачи