а)Так как $1 = \log_3{3},$ то имеем
\[
\log_3{\left(x^2 - 2x\right)} = \log_3{3}.
\]
Функция $y = \log_3{t}$ является монотонной. Получаем:
\[
x^2-2x=3;
\]
\[
x^2-2x-3=0.
\]
Решим полученное
квадратное уравнение.
Его корнями будут (Воспользуемся обратной теоремой Виета.
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
x_1+x_2=2,\\
x_1\cdot x_2=-3,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $-3$ на два множителя. Сумму $2$ даёт пара $-1$ и $3.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-1+3=2,\\
(-1)\cdot 3=-3.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
x_1=-1,\\
x_2=3.
\end{array}
\right.
\]) $x_1=-1$ и $x_2=3.$
б)Сравним полученные корни с концами отрезка.
Заметим, что функции $y=\log_2 t$ и $y=\log_3 t$ монотонно возрастают, так как $2>1$ и $3>1.$
Проверим корень $x = -1.$
По
свойству логарифма степени ($\log_a b^k=k\log_a b$ при $b>0$)\[
-1 = -\log_2{2} =\log_2\dfrac{1}{2}>\log_2\dfrac{1}{5}=\log_2 0{,}2;
\]
\[
-1= -\log_3{3} =\log_3\dfrac{1}{3}<\log_3 5.
\]
Значит, $-1\in\left[\log_2 0{,}2;\log_3 5\right].$
Проверим корень $x = 3:$
\[
3=\log_3 27>\log_3 5.
\]
Следовательно, $3\notin\left[\log_2 0{,}2;\log_3 5\right].$
Ответ: а) $-1;\,3.$ б) $-1.$
