а)Заметим, что при всех $x$ верно, что
\[
5x^4+30 \geqslant 0 + 30 > 0.
\]
Значит, можем преобразовать правую часть уравнения по
свойству логарифма ($\log_{a^k}b^k=\log_a b$ при $b > 0$):
\[
\log_{\sqrt{5}}\sqrt{5x^4+30}= \log_{5^{\frac{1}{2}}}\left(5x^4+30\right)^{\frac{1}{2}} =\log_5\left(5x^4+30\right).
\]
Запишем $1=\log_5 5$ и применим
формулу логарифма произведения ($\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$ при $b>0,$ $c>0$):
\[
\log_5 5+\log_5\left(5x^2+20\right)=\log_5\left(5x^4+30\right);
\]
\[
\log_5\left(5\left(5x^2+20\right)\right)=\log_5\left(5x^4+30\right).
\]
Функция $y=\log_5 t$ является монотонной, поэтому
\[
5\left(5x^2+20\right)=5x^4+30;
\]
\[
25x^2+100=5x^4+30;
\]
\[
\left.\quad\quad\;\;\; 5x^4-25x^2-70=0;\quad\right|:5
\]
\[
x^4-5x^2-14=0.
\]
Сделаем замену $t=x^2:$
\[
t^2-5t-14=0.
\]
Решим полученное
квадратное уравнение.
Его корнями будут (Воспользуемся обратной теоремой Виета.
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=5,\\
t_1\cdot t_2=-14,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $-14$ на два множителя. Сумму $5$ даёт пара $-2$ и $7.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-2+7=5,\\
(-2)\cdot 7=-14.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=-2,\\
t_2=7.
\end{array}
\right.
\])\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=-2,\\
t_2=7.
\end{array}
\right.
\]
Сделаем обратную замену:
\[
\left[
\begin{array}{l}
x^2=-2,\\
x^2=7.
\end{array}
\right.
\]
Уравнение $x^2=-2$ не имеет решений, так как $x^2\geqslant 0$ при всех $x.$
Уравнение $x^2=7$ даёт корни
\[
x=\pm\sqrt{7}.
\]
б)Сравним полученные корни с концами отрезка $\left[-3{,}2;2{,}6\right].$
Проверим корень $x=-\sqrt{7}.$ Так как
$$4<7<9,$$ то
$$2<\sqrt{7}<3.$$
Тогда
\[
-3{,}2<-3<-\sqrt{7}<-2<2{,}6.
\]
Значит, $-\sqrt{7}\in\left[-3{,}2;2{,}6\right].$
Проверим корень $x=\sqrt{7}.$ Числа $\sqrt{7}$ и $2{,}6$ положительны, поэтому перейдём к сравнению их квадратов:
\[
\begin{aligned}
\left(\sqrt{7}\right)^2 & \vee \left(2{,}6\right)^2;\\
7 & > 6{,}76.
\end{aligned}
\]
Следовательно, $\sqrt{7}>2{,}6,$ и $\sqrt{7}\notin\left[-3{,}2;2{,}6\right].$
Ответ: а) $\pm\sqrt{7}.$ б) $-\sqrt{7}.$
