а)Сделаем замену $t=\log_8 x:$
\[
6t^2-5t+1=0.
\]
Решим полученное
квадратное уравнение.
Его корнями будут (С помощью дискриминанта решим уравнение
\[
6t^2-5t+1=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=(-5)^2-4\cdot6\cdot1=25-24=1=1^2.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=\dfrac{5-1}{12}=\dfrac13,\\[2mm]
t_2=\dfrac{5+1}{12}=\dfrac12.
\end{array}
\right.
\])\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1 = \dfrac13,\\
t_2 = \dfrac12.
\end{array}
\right.
\]
Сделаем обратную замену. По
свойству логарифма степени ($\log_{a}{b^k} = k\log_ab$ при $b > 0$)\[
\dfrac13 = \dfrac{1}{3}\log_8 8 = \log_8 8^{\frac{1}{3}} = \log_8 2;
\]
\[
\dfrac12 = \dfrac{1}{2}\log_8 8 =\log_8 8^{\frac{1}{2}} = \log_8 \sqrt{8}.
\]
Функция $y = \log_8t$ является монотонной, поэтому
\[
\left[
\begin{array}{l}
\log_8 x=\dfrac13,\\[2mm]
\log_8 x=\dfrac12
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\log_8 x=\log_8{2},\\[2mm]
\log_8 x=\log_8\sqrt{8}
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
x=2,\\
x=\sqrt{8}.
\end{array}
\right.
\]
б)Сравним полученные корни с концами отрезка.
Очевидно, что $2\in\left[1;2{,}5\right].$ Оценим второй корень:
\[
2{,}5= \sqrt{2{,}5^2} = \sqrt{6{,}25}<\sqrt{8},
\]
поэтому $\sqrt{8}\notin\left[1;2{,}5\right].$
Ответ: а) $2; \sqrt{8}.$ б) $2.$
