Простейшие уравнения: а) Решите уравнение 2x+2(x-/2) = 3x+3. б)......

а)
По формуле синуса двойного угла $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ и по формуле приведения $$\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin x$$ имеем:
\[ 2\sin x\cos x+2\sin x=\sqrt{3}\cos x+\sqrt{3}; \]
\[ 2\sin x\cos x+2\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=0. \]
Сгруппируем слагаемые:
\[ 2\sin x\left(\cos x+1\right)-\sqrt{3}\left(\cos x+1\right)=0; \]
\[ \left(\cos x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0. \]
Решая простейшие тригонометрические уравнения, получаем:
\[ \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1,\\[2mm] \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x=\pi+2\pi k,\\[2mm] x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\\[2mm] x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right. \]

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.



На отрезок попали следующие корни:
\[ -3\pi,\,-\dfrac{5\pi}{3}. \]

Ответ: а) $\pi+2\pi k,\,\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,k\in\mathbb{Z}.$ б) $-3\pi,\,-\dfrac{5\pi}{3}.$