Магнитное поле: По горизонтальным шероховатым рельсам с... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

По горизонтальным шероховатым рельсам с пренебрежимо малым электрическим сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня сопротивлением $R=0,1$ Ом каждый. Расстояние между рельсами $l=10$ см. Рельсы со стержнями находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл (см. рисунок). Если на первый стержень действует горизонтальная сила $F=0,1$ Н, направленная вдоль рельсов, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь.

Решение

1. Стержни движутся в одну сторону с разными скоростями (

v_1 > v_2

), поэтому расстояние между ними увеличивается с относительной скоростью:

v_{\text{отн}} = v_1 - v_2.

2. Возникающая в контуре ЭДС индукции за счет изменения его площади равна:

|\mathcal{E}_i| = B l (v_1 - v_2) = B l v_{\text{отн}}.

3. Полное сопротивление замкнутого контура складывается из сопротивлений двух одинаковых стержней:

R_{\text{полн}} = 2R.

4. Сила индукционного тока в контуре равна:

I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{2R} = \frac{B l v_{\text{отн}}}{2R}.

5. Рассмотрим правый стержень. На него действуют: 1) Внешняя сила

\vec{F}

, направленная вправо; 2) Сила Ампера

\vec{F}_{\text{А1}}

, направленная влево:

F_{\text{А1}} = I B l = \frac{B^2 l^2 v_{\text{отн}}}{2R};

3) Сила трения скольжения

\vec{F}_{\text{тр1}}

, направленная влево.

6. Рассмотрим левый стержень. На него действуют: 1) Сила Ампера

\vec{F}_{\text{А2}}

, направленная вправо. По третьему закону Ньютона

F_{\text{А2}} = F_{\text{А1}} = F_{\text{А}}

; 2) Сила трения скольжения

\vec{F}_{\text{тр2}}

, направленная влево против его движения.

7. Так как стержни одинаковые, их силы трения скольжения равны:

F_{\text{тр1}} = F_{\text{тр2}} = F_{\text{тр}}

.

8. Поскольку оба стержня движутся поступательно и равномерно, силы по горизонтали компенсируют друг друга:

Для левого стержня:

F_{\text{А}} - F_{\text{тр}} = 0 \implies F_{\text{тр}} = F_{\text{А}}.

Для правого стержня:

F - F_{\text{А}} - F_{\text{тр}} = 0.

9. Подставим

F_{\text{тр}} = F_{\text{А}}

в уравнение движения правого стержня:

\begin{gathered}F - F_{\text{А}} - F_{\text{А}} = 0 \implies F \\= 2 F_{\text{А}}.\end{gathered}

10. Подставим выражение для силы Ампера

F_{\text{А}} = \dfrac{B^2 l^2 v_{\text{отн}}}{2R}

F = 2 \cdot \frac{B^2 l^2 v_{\text{отн}}}{2R} = \frac{B^2 l^2 v_{\text{отн}}}{R}.

11. Выразим относительную скорость

v_{\text{отн}}

v_{\text{отн}} = \frac{F R}{B^2 l^2}.

Подставим численные значения:

\begin{gathered}v_{\text{отн}} = \frac{0{,}1\text{ Н} \cdot 0{,}1\text{ Ом}}{(1\text{ Тл})^2 \cdot (0{,}1\text{ м})^2} = \frac{0{,}01}{0{,}01} \\= 1\text{ м/с}\end{gathered}

Магнитное поле: По горизонтальным шероховатым рельсам с... — задача

Похожие задачи