Углы при одном из оснований трапеции равны 18∘ и 72∘, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.
Ответ:
Решение
Пусть BC=a,AD=b, где b>a. Точки K,L — середины боковых сторон, а M,N — середины оснований.
Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P. Так как сумма данных углов равна 90∘, треугольник APD прямоугольный при P. Треугольник BPC также прямоугольный, поскольку BC∥AD.
В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, поэтому PM=2a,PN=2b. Следовательно, MN=PN−PM=2b−a. А KL — средняя линия трапеции, значит KL=2a+b. По чертежу KL=15,MN=4. Получаем a+b=30,b−a=8. Отсюда b=19,a=11. Основания равны 11 и 19.
