В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 33 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90∘. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=20.
Ответ:
Решение
Пусть P — точка пересечения прямых AB и CD. Так как сумма углов при основании AD равна 90∘, треугольник APD прямоугольный при P.
Треугольники BPC и APD подобны, поскольку BC∥AD. Обозначим BP=x. Тогда AP=AB+BP=20+x, и 20+xx=ADBC=3311. Отсюда BP=x=10. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде AB. Если H — середина AB, то BH=2AB=10. Так как AB⊥CD, радиус окружности равен R=PB+BH=10+10=20.
