В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90∘. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=13.
Ответ:
Решение
Пусть P — точка пересечения прямых AB и CD. Так как сумма углов при основании AD равна 90∘, треугольник APD прямоугольный при P.
Треугольники BPC и APD подобны, поскольку BC∥AD. Обозначим BP=x. Тогда AP=AB+BP=13+x, и 13+xx=ADBC=3612. Отсюда BP=x=213. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде AB. Если H — середина AB, то BH=2AB=213. Так как AB⊥CD, радиус окружности равен R=PB+BH=213+213=13.
