Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026ЕГЭ 2016 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\dfrac{x-2a}{x+2}+\dfrac{x-1}{x-a}=1

имеет ровно один корень.

Решение

Перенесём все слагаемые влево и приведём к общему знаменателю:

\frac{(x-a)(x-2a)+(x+2)(x-1)-(x+2)(x-a)}{(x-a)(x+2)} = 0;\\[0.5em]\frac{x^2-ax-2ax+2a^2+x^2+x-2-x^2-2x+ax+2a}{(x-a)(x+2)} = 0;\\[0.5em]\frac{x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2}{(x-a)(x+2)} = 0.

Найдём при каких

a

нули знаменателя

x=a

x=-2

обнуляют числитель:

1) \ x=a:

a^2-(2a+1)a+2a^2 +2a-2=0;\\[0.5em]a^2-2a^2 - a +2a^2 +2a-2=0;\\[0.5em]a^2+a-2=0;\\[0.5em]a=1, \quad a=-2.

x = -2

(-2)^2 - (2a+1)(-2) + 2a^2 + 2a - 2 = 0;\\[0.5em]4 + 4a + 2 + 2a^2 + 2a - 2 = 0;\\[0.5em]2a^2 + 6a + 4 = 0;\\[0.5em]a^2 + 3a + 2 = 0; \\[0.5em]a = -1, \quad a = -2.

Заметим, что при

a = -2

x = a = -2

, то есть корни

a

-2

совпадают.

Исходное уравнение будет иметь ровно один корень в следующих случаях:
a) числитель имеет ровно один корень и он отличен от

a

-2

D = (2a+1)^2 - 4(2a^2+2a-2) = 4a^2+4a+1-8a^2-8a+8 = -4a^2-4a+9;\\[0.5em]D=0, \quad-4a^2-4a+9 = 0;\\[0.5em]4a^2+4a-9 = 0;\\[0.5em]D = 16 + 4 \cdot 4 \cdot 9 = 160 = (4\sqrt{10})^2; \\[0.5em]a_{1,2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}.

a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}

не совпадают с

a=-2

a=-1

a=1

, значит, единственный корень числителя не обнулит знаменатель.

б) числитель имеет 2 корня, но ровно один из них совпадает с

x=a

и/или

x=-2.

Так как при

a=-2

a=-1

a=1

ровно один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя и при этом дискриминант числителя не равен 0 (так как

a \neq \dfrac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}

), то уравнение имеет ровно 1 корень.

Ответ:

\dfrac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}; \ -2; \ -1; \ 1.

Похожие задачи