Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026Профиматика

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\dfrac{x^2-2x+a^2-6a}{x^2-a}=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Уравнение равносильно системе

\begin{cases}x^2 - 2x + a^2 - 6a = 0, \quad (1) \\x^2 - a \neq 0. \quad (2)\end{cases}

Рассмотрим уравнение

(1)

x^2 - 2x + a^2 - 6a = 0

— квадратное уравнение, не может иметь больше двух корней.
Два корня будет при

D > 0:

D = 4 - 4(a^2 - 6a) = -4a^2 + 24a + 4; \\[0.5em]-4a^2 + 24a + 4 > 0; \quad | : (-4)\\[0.5em]a^2 - 6a - 1 < 0;\\[0.5em]a^2 - 6a - 1 = 0;\\[0.5em]D = 36 + 4 = 40 = (2\sqrt{10})^2;\\[0.5em]\quad a_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10};\\[0.5em](a-3-\sqrt{10})(a-3+\sqrt{10})<0.

a \in (3-\sqrt{10};\ 3+\sqrt{10}).

Рассмотрим

(2)

x^2 - a \neq 0

x^2 - a = 0, \ x^2 = a.

При

a < 0

: уравнение

x^2 = a

не имеет решений.
При

a \geqslant 0: x = \pm \sqrt{a}

- нули знаменателя.

Найдём

a\geqslant 0

, при которых

x = \sqrt{a}

или

x = -\sqrt{a}

являются корнями уравнения

(1)

:
a)

x = \sqrt{a}:

(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a} + a^2 - 6a = 0;\\[0.5em]a^2 - 5a - 2\sqrt{a} = 0;\\[0.5em]\sqrt{a}(a\sqrt{a} - 5\sqrt{a} - 2) = 0.

a = 0

будет корнем уравнения, рассмотрим

a\sqrt{a} - 5\sqrt{a} - 2=0

t = \sqrt{a}, \quad t^3 - 5t - 2 = 0;\\[0.5em](t^3 + 8) - 5t - 10 = 0;\\[0.5em](t + 2)(t^2 - 2t + 4) - 5(t + 2) = 0;\\[0.5em](t + 2)(t^2 - 2t + 4 - 5) = 0;\\[0.5em]\left[\begin{aligned}& t + 2 = 0, \\& t^2 - 2t - 1 = 0;\end{aligned}\right.\hspace{1cm}\left[\begin{aligned}& t = -2, \\& t_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2};\end{aligned}\right.\hspace{1cm}\left[\begin{aligned}& \sqrt{a} = -2 <0,\ \text{нет решений,}\\& \sqrt{a} = 1 + \sqrt{2}, \\& \sqrt{a} = 1 - \sqrt{2}<0,\ \text{нет решений}.\end{aligned}\right.\\[0.5em]a = (1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}.

Получаем

a =0

a = 3 + 2\sqrt{2}.

б)

x = -\sqrt{a}:

(-\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a} + a^2 - 6a = 0;\\[0.5em]a^2 - 5a + 2\sqrt{a} = 0;\\[0.5em]\sqrt{a}(a\sqrt{a} - 5\sqrt{a} + 2) = 0.

a = 0

будет корнем уравнения, рассмотрим

a\sqrt{a} - 5\sqrt{a} + 2=0

t = \sqrt{a}, \quad t^3 - 5t + 2 = 0;\\[0.5em](t^3 - 8) - 5t + 10 = 0;\\[0.5em](t - 2)(t^2 + 2t + 4) - 5(t - 2) = 0;\\[0.5em]\left[\begin{aligned}& t - 2 = 0, \\& t^2 + 2t - 1 = 0;\end{aligned}\right.\hspace{0.5cm}\left[\begin{aligned}& t = 2, \\& t_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2};\end{aligned}\right.\hspace{0.5cm}\left[\begin{aligned}& \sqrt{a} = 2, \\& \sqrt{a} = -1 + \sqrt{2}, \\& \sqrt{a} = -1 - \sqrt{2}<0, \varnothing;\end{aligned}\right.\hspace{0.5cm}\left[\begin{aligned}& a = 4, \\& a = (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}.\end{aligned}\right.

Получаем

a =4

a= 3 -2\sqrt{2}.

Следовательно,

a \in (3-\sqrt{10}; 3+\sqrt{10}), \ a \neq 0, \ a \neq 4, \ a \neq 3 \pm 2\sqrt{2}

.

Ответ:

a \in (3-\sqrt{10}; 0) \cup (0; 3-2\sqrt{2}) \cup (3-2\sqrt{2}; 4) \cup (4; 3+2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2}; 3+\sqrt{10})

Похожие задачи