Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026Профиматика

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\dfrac{x^2-6x+a+3}{x^2-(6a+1)x+6a}=0

имеет единственное решение.

Решение

Рассмотрим знаменатель и найдём его нули:

x^2 - (6a+1)x + 6a = 0; \\[0.5em]x^2 - 6ax - x + 6a = 0;\\[0.5em]x(x - 6a) - (x - 6a) = 0;\\[0.5em](x - 1)(x - 6a) = 0;\\[0.5em]x = 1, \quad x = 6a.

Найдём при каких

a

корни знаменателя являются корнями числителя. Подставим

x=1

x=6a

в уравнение

x^2 - 6x + a + 3 = 0

.
1)

x = 1

1^2 - 6 + a + 3 = 0; \\[0.5em]a=2.

x = 6a

(6a)^2 - 6 \cdot 6a + a + 3 = 0; \\[0.5em]36a^2 - 35a + 3 = 0;\\[0.5em]D = 35^2 - 4 \cdot 36 \cdot 3 = 793; \\[0.5em]a_{1,2} = \frac{35 \pm \sqrt{793}}{72}.

Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если
а) числитель имеет ровно один корень и он отличен от

1

6a

x^2 - 6x + a + 3 = 0;\\[0.5em]D = 36 - 4(a+3) = 36 - 4a - 12 = 24 - 4a;\\[0.5em]D = 0; \\[0.5em]24 - 4a = 0;\\[0.5em]a = 6.\\[0.5em]\begin{cases}D = 0, \\a \neq 2, \\a \neq \dfrac{35 \pm \sqrt{793}}{72};\end{cases} \quad\begin{cases}a = 6, \\a \neq 2, \\a \neq \dfrac{35 \pm \sqrt{793}}{72};\end{cases} \quad a = 6.

б) числитель имеет два корня, из которых ровно один равен

1

или

6a

.

Заметим, что

x=1

x=6a

являются корнями числителя при разных значениях параметра, значит, не может возникнуть ситуация, когда оба корня числителя обнуляют знаменатель.

Заметим, что и при

a=2

, и при

a = \dfrac{35 \pm \sqrt{793}}{72}

, числитель имеет два корня, так как один из них равен

1

или

6a

, а дискриминант числителя не равен нулю (так как

a \neq 6

). Следовательно, при таких

a

уравнение будет иметь ровно один корень.

\textbf{Ответ:}

2;\ \dfrac{35 \pm \sqrt{793}}{72};\ 6.

Interactive background for parameters-2026:3.1

Static parameter plot for parameters-2026:3.1

Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Похожие задачи