Оптика: [Рисунок] Прямоугольник со сторонами a=20 см... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Прямоугольник со сторонами

a=20

см и

b=10

см расположен в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой

D=2

дптр так, что две его стороны параллельны плоскости линзы (см. рисунок). Расстояние от дальней стороны прямоугольника до плоскости линзы

d_1=70

см. Определите площадь изображения прямоугольника в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение прямоугольника в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.

Рисунок к задаче 2 тематической подборки Физики ЕГЭ

Решение

Пусть

F=1/D

— фокусное расстояние,

d_1

d_2

— расстояния до
дальней и ближней сторон прямоугольника соответственно. Тогда

d_2=d_1-b.

Построение.
От верхней и нижней вершин каждой вертикальной стороны прямоугольника
проводим лучи через оптический центр линзы; эти лучи не изменяют
направления. От тех же вершин проводим лучи, параллельные главной оси;
после линзы они идут через

F

. Для стороны, находящейся на расстоянии

d_1

, точки пересечения лежат на расстоянии

f_1

и образуют отрезок

a_1

. Для второй стороны точки пересечения лежат на расстоянии

f_2

и
образуют отрезок

a_2

. Соединяем соответствующие концы

a_1

a_2

;
получается показанная на рисунке трапеция.

Рисунок к задаче 2 тематической подборки Физики ЕГЭ

Для каждой стороны используем формулу тонкой линзы и формулу поперечного
увеличения:

\begin{gathered}f_i=\frac{Fd_i}{d_i-F},\qquad\Gamma_i=\frac{f_i}{d_i}\\=\frac{F}{d_i-F},\qquad i=1,2.\end{gathered}

Длины параллельных сторон изображения равны

a'_1=a\Gamma_1,\qquada'_2=a\Gamma_2.

Изображение прямоугольника является трапецией. Её основания

a'_1

a'_2

находятся на расстоянии

f_2-f_1

, поэтому площадь изображения
в общем виде равна

\begin{gathered}S'=\frac{a'_1+a'_2}{2}(f_2-f_1)\\=\frac{a}{2}\left(\frac{F}{d_1-F}+\frac{F}{d_2-F}\right)\left(\frac{Fd_2}{d_2-F}-\frac{Fd_1}{d_1-F}\right).\end{gathered}

При

D=2

дптр

F=50

см, а

d_2=70-10=60

см. Тогда

\begin{gathered}f_1=\frac{50\cdot70}{70-50}=175\ \text{см},\qquadf_2\\=\frac{50\cdot60}{60-50}=300\ \text{см},\end{gathered}

\begin{gathered}a'_1=20\cdot\frac{175}{70}=50\ \text{см},\qquada'_2\\=20\cdot\frac{300}{60}=100\ \text{см}.\end{gathered}

Следовательно,

\begin{gathered}S'=\frac{50+100}{2}(300-175)\\=9375\ \text{см}^2.\end{gathered}

Оптика: [Рисунок] Прямоугольник со сторонами a=20 см... — задача

Похожие задачи