Оптика: [Рисунок] Равнобедренный прямоугольный... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Равнобедренный прямоугольный треугольник

ABC

расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой

2{,}5

дптр так, что его катет

AC

лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла

C

лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла

A

. Расстояние от центра линзы до точки

A

равно удвоенному фокусному расстоянию линзы,

AC=4

см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Рисунок к задаче 1 тематической подборки Физики ЕГЭ

Решение

Обозначим

a=AC=BC

F

— фокусное расстояние линзы,

d

— расстояние
от точки предмета до линзы,

f

— расстояние от линзы до изображения этой
точки. Оптическая сила и формула тонкой собирающей линзы имеют вид

\begin{gathered}F=\frac{1}{D},\qquad\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f},\qquadf\\=\frac{Fd}{d-F}.\end{gathered}

Построение.
Точку

A'

отмечаем на главной оптической оси у отметки

2F

, а точку

C'

— в найденном расчётом положении. Из

A

проводим показанный
наклонный луч к линзе. Через оптический центр проводим вспомогательную
прямую, параллельную падающей части этого луча. Точка её пересечения с
задней фокальной плоскостью задаёт направление преломлённой части луча,
которую проводим до

A'

. Из

B

проводим луч через оптический центр без
изменения направления и луч, параллельный главной оси; после линзы второй
луч проходит через задний главный фокус. Их пересечение даёт

B'

.
Поскольку

BC

перпендикулярен главной оси,

B'

C'

располагаются на
одном перпендикуляре к ней. Соединяем

A'

B'

C'

Для точек

A

C

d_A=2F,\qquadd_C=2F-a.

Поэтому

\begin{gathered}f_A=\frac{F\cdot 2F}{2F-F}=2F,\qquadf_C\\=\frac{F(2F-a)}{F-a}.\end{gathered}

Поперечное увеличение для отрезка

BC

, перпендикулярного главной
оптической оси,

\Gamma_C=\frac{f_C}{d_C}=\frac{F}{F-a}.

Следовательно, катеты получившегося прямоугольного треугольника равны

\begin{gathered}A'C'=f_C-f_A\\=\frac{Fa}{F-a},\qquadB'C'=a\Gamma_C\\=\frac{Fa}{F-a}.\end{gathered}

Площадь изображения в общем виде:

\begin{gathered}S'=\frac{1}{2}A'C'\cdot B'C'\\=\frac{1}{2}\left(\frac{Fa}{F-a}\right)^2.\end{gathered}

При

D=2{,}5

дптр имеем

F=0{,}40

=40

см. Тогда

S'=\frac{1}{2}\left(\frac{40\cdot 4}{40-4}\right)^2\approx 9{,}9\ \text{см}^2.

Оптика: [Рисунок] Равнобедренный прямоугольный... — задача

Похожие задачи