Оптика: [Рисунок] Тонкая палочка AB длиной l=10 см... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Сложные задачи по электродинамикеЕГЭ прошлых летПрофиматика

Тонкая палочка

AB

длиной

l=10

см расположена параллельно главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии

h=15

см от неё (см. рисунок). Конец

A

палочки располагается на расстоянии

a=40

см от линзы. Постройте изображение палочки в линзе и определите его длину

L

. Фокусное расстояние линзы

F=20

см.

Решение

Расстояния от концов палочки до линзы:

d_A=a,\qquadd_B=a-l.

Построение.
Из

A

B

проводим лучи через оптический центр линзы; их направления
не изменяются. Горизонтальный луч, идущий из

A

вдоль

AB

, после линзы
проходит через

F

. Его пересечение с лучом из

A

даёт

A'

, а с лучом
из

B

—

B'

. Соединяем

A'

B'

. Через

B'

проводим
перпендикуляр к главной оси; точка его пересечения с осью обозначена

C

.
На рисунке также показано, что

A'

находится под отметкой

2F

на
расстоянии

h

от оси.

По формуле тонкой линзы расстояния до изображений концов равны

\begin{gathered}f_A=\frac{Fa}{a-F},\qquadf_B\\=\frac{F(a-l)}{a-l-F}.\end{gathered}

Модули расстояний изображений от главной оптической оси:

\begin{gathered}h'_A=h\frac{f_A}{a}=\frac{hF}{a-F},\qquadh'_B\\=h\frac{f_B}{a-l}=\frac{hF}{a-l-F}.\end{gathered}

Продольная и поперечная разности координат концов изображения:

\begin{gathered}\Delta f=f_B-f_A\\=\frac{F^2l}{(a-F)(a-l-F)},\end{gathered}

\begin{gathered}\Delta h=h'_B-h'_A\\=\frac{hFl}{(a-F)(a-l-F)}.\end{gathered}

По теореме Пифагора длина изображения в общем виде

\begin{gathered}L=\sqrt{(\Delta f)^2+(\Delta h)^2}\\=\frac{Fl\sqrt{F^2+h^2}}{(a-F)(a-l-F)}.\end{gathered}

Подстановка чисел даёт

\begin{gathered}L=\frac{20\cdot10\sqrt{20^2+15^2}}{(40-20)(40-10-20)}\\=25\ \text{см}.\end{gathered}

Похожие задачи