В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника ABC.
Ответ:
Решение
Пусть O — точка пересечения BE и AD. В треугольнике ABD отрезок BO является и высотой, и биссектрисой, поэтому AB=BD. Так как AD — медиана, BD=DC, следовательно, BC=2AB. В равнобедренном треугольнике ABD высота BO к основанию является медианой, поэтому AO=OD=2AD=16. По свойству биссектрисы AE:EC=AB:BC=1:2, значит AE:AC=1:3. Продлим AD за D до F так, чтобы AD=DF. Тогда ABFC — параллелограмм, и BF=AC. Из подобия △AOE∼△FOB получаем BOOE=ACAE=31. Так как BE=32, имеем OE=8,BO=24. Тогда AB=162+242=813,BC=2AB=1613. Кроме того, AE=162+82=85,AC=3AE=245.
