Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=415.
Ответ:
Решение
Пусть окружность касается луча AB в точке E. Тогда AE — касательная, а AC — секущая. По теореме о касательной и секущей AE2=AM⋅AN=12⋅45=540, значит AE=615.
По теореме косинусов в треугольнике AEM: EM2=AE2+AM2−2AE⋅AMcos∠BAC. Подставляя данные, получаем EM2=540+122−2⋅615⋅12⋅415=144, то есть EM=12. Кроме того, sin∠BAC=1−4152=41. В треугольнике EMN синус угла ENM равен этому же числу. Тогда по теореме синусов R=2sin∠ENMEM=2⋅4112=24.
